Нахождение обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений

Задание: Найти обратную матрицу с помощью алгебраических дополнений. Дано: \( k = 3 \), \( n = -1 \). Матрица \( A \) имеет вид: \[ A = \begin{pmatrix} k & kn-1 & 1-kn \\ -k & 1-kn & kn \\ 1 & n & -n \end{pmatrix} \] 1. Подставим значения \( k \) и \( n \) в матрицу: \( kn = 3 \cdot (-1) = -3 \) \( kn - 1 = -3 - 1 = -4 \) \( 1 - kn = 1 - (-3) = 4 \) Получаем матрицу: \[ A = \begin{pmatrix} 3 & -4 & 4 \\ -3 & 4 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \] 2. Найдем определитель матрицы \( \det(A) \): \[ \det(A) = 3 \cdot \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} - (-4) \cdot \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} \] \[ \det(A) = 3 \cdot (4 - 3) + 4 \cdot (-3 + 3) + 4 \cdot (3 - 4) \] \[ \det(A) = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot (-1) = 3 - 4 = -1 \] Так как \( \det(A) \neq 0 \), обратная матрица существует. 3. Найдем алгебраические дополнения \( A_{ij} \): \[ A_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 4 - 3 = 1 \] \[ A_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} -3 & -3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-3 + 3) = 0 \] \[ A_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -3 & 4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \] \[ A_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-4 + 4) = 0 \] \[ A_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3 - 4 = -1 \] \[ A_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -(-3 + 4) = -1 \] \[ A_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -3 \end{vmatrix} = 12 - 16 = -4 \] \[ A_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 3 & 4 \\ -3 & -3 \end{vmatrix} = -(-9 + 12) = -3 \] \[ A_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 12 = 0 \] 4. Составим союзную (присоединенную) матрицу \( A^* \), транспонировав матрицу из дополнений: \[ A^* = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & A_{31} \\ A_{12} & A_{22} & A_{32} \\ A_{13} & A_{23} & A_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} \] 5. Вычислим обратную матрицу по формуле \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^* \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & -1 & -3 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \] Ответ: \[ A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \]