Решение задачи №4: Вероятность знать 2 вопроса

Задача №4. Дано: Общее количество вопросов: \( N = 45 \). Количество выученных вопросов: \( M = 30 \). Количество невыученных вопросов: \( N - M = 45 - 30 = 15 \). Количество предложенных вопросов (выборка): \( n = 4 \). Количество вопросов, которые студент должен знать из выборки: \( k = 2 \). Найти: \( P(A) \) — вероятность того, что из 4 предложенных вопросов студент знает ровно 2. Решение: Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности и формулой сочетаний: \[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \] 1. Общее число возможных исходов (способов выбрать 4 вопроса из 45): \[ N_{total} = C_{45}^4 = \frac{45!}{4!(45-4)!} = \frac{45 \cdot 44 \cdot 43 \cdot 42}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 148995 \] 2. Число благоприятных исходов (способов выбрать 2 выученных вопроса из 30 и 2 невыученных из 15): \[ N_{fav} = C_{30}^2 \cdot C_{15}^2 \] Вычислим каждое сочетание: \[ C_{30}^2 = \frac{30 \cdot 29}{2 \cdot 1} = 435 \] \[ C_{15}^2 = \frac{15 \cdot 14}{2 \cdot 1} = 105 \] Тогда: \[ N_{fav} = 435 \cdot 105 = 45675 \] 3. Искомая вероятность: \[ P(A) = \frac{N_{fav}}{N_{total}} = \frac{45675}{148995} \] Сократим дробь на 15: \[ P(A) = \frac{3045}{9933} \] Сократим еще на 3: \[ P(A) = \frac{1015}{3311} \approx 0,3065 \] Ответ: Вероятность того, что студент знает два вопроса из четырех, равна \( \frac{1015}{3311} \) или примерно 0,3065.