Контрольные вопросы к защите лабораторной работы №7: Решение СЛАУ

Контрольные вопросы к защите лабораторной работы № 7 1. Что такое СЛАУ и что понимают под решением СЛАУ? СЛАУ — это система линейных алгебраических уравнений. В общем виде она записывается как: \[ A \cdot X = B \] где \( A \) — матрица коэффициентов, \( X \) — вектор неизвестных, \( B \) — вектор свободных членов. Под решением СЛАУ понимают совокупность значений неизвестных \( x_1, x_2, \dots, x_n \), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в верное равенство. Если система имеет хотя бы одно решение, она называется совместной, если ни одного — несовместной. 2. Что понимается под прямыми методами решения СЛАУ и какие методы к ним относятся? Прямые (или точные) методы — это алгоритмы, которые позволяют найти решение системы за конечное число арифметических операций. Если вычисления проводить без округлений, то такие методы дают абсолютно точный результат. К ним относятся: — Метод Гаусса (последовательное исключение неизвестных); — Метод Крамера (использование определителей); — Матричный метод (с помощью обратной матрицы \( X = A^{-1} \cdot B \)); — Метод разложения (LU-разложение, метод Холецкого). 3. Что понимается под итерационными методами решения СЛАУ и какие методы к ним относятся? Итерационные методы — это методы, основанные на нахождении решения путем последовательных приближений. Начиная с некоторого начального вектора \( X^{(0)} \), строится последовательность векторов \( X^{(k)} \), которая при определенных условиях сходится к точному решению. К ним относятся: — Метод простой итерации (метод Якоби); — Метод Зейделя; — Метод релаксации. 4. Назовите основные этапы решения СЛАУ любым прямым методом (на примере метода Гаусса). Этап 1. Прямой ход: приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому (треугольному) виду с помощью элементарных преобразований строк. На этом этапе исключаются неизвестные под главной диагональю. Этап 2. Анализ совместности: проверка системы на наличие решений (согласно теореме Кронекера-Капелли). Этап 3. Обратный ход: нахождение значений неизвестных, начиная с последнего уравнения и двигаясь вверх к первому. 5. Назовите основные этапы решения СЛАУ любым итерационным методом. Этап 1. Приведение системы к виду, удобному для итераций: \( X = C \cdot X + F \), где матрица \( C \) должна удовлетворять условию сходимости (например, норма матрицы \( \|C\| < 1 \)). Этап 2. Выбор начального приближения \( X^{(0)} \) (часто принимают за нулевой вектор или вектор свободных членов). Этап 3. Задание точности вычислений \( \epsilon \). Этап 4. Итерационный процесс: вычисление новых приближений по формуле \( X^{(k+1)} = C \cdot X^{(k)} + F \). Этап 5. Проверка условия остановки: процесс прекращается, когда разность между двумя соседними приближениями становится меньше заданной точности: \( \|X^{(k+1)} - X^{(k)}\| < \epsilon \).