Решение: tg 105° через формулу тангенса суммы

Для решения данных примеров воспользуемся формулой тангенса суммы двух углов: \[ \text{tg}(\alpha + \beta) = \frac{\text{tg} \alpha + \text{tg} \beta}{1 - \text{tg} \alpha \cdot \text{tg} \beta} \] 1) Вычислим \( \text{tg} 105^\circ \). Представим угол \( 105^\circ \) как сумму табличных углов \( 60^\circ \) и \( 45^\circ \): \[ \text{tg} 105^\circ = \text{tg}(60^\circ + 45^\circ) = \frac{\text{tg} 60^\circ + \text{tg} 45^\circ}{1 - \text{tg} 60^\circ \cdot \text{tg} 45^\circ} \] Подставим значения \( \text{tg} 60^\circ = \sqrt{3} \) и \( \text{tg} 45^\circ = 1 \): \[ \text{tg} 105^\circ = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3} \cdot 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на \( (1 + \sqrt{3}) \): \[ \frac{(\sqrt{3} + 1)(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{1 + 2\sqrt{3} + 3}{1 - 3} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3} \] 2) Вычислим \( \text{tg} 75^\circ \). Представим угол \( 75^\circ \) как сумму \( 45^\circ \) и \( 30^\circ \): \[ \text{tg} 75^\circ = \text{tg}(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\text{tg} 45^\circ + \text{tg} 30^\circ}{1 - \text{tg} 45^\circ \cdot \text{tg} 30^\circ} \] Подставим значения \( \text{tg} 45^\circ = 1 \) и \( \text{tg} 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \): \[ \text{tg} 75^\circ = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \] Избавимся от иррациональности, умножив на \( (3 + \sqrt{3}) \): \[ \frac{(3 + \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \] Ответ: \[ \text{tg} 105^\circ = -2 - \sqrt{3} \] \[ \text{tg} 75^\circ = 2 + \sqrt{3} \]