Решение:

Задание 1. Решите уравнения. А) \(\frac{2x + 3}{5} + \frac{4 - x^2}{8} = -1\) Решение: Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 40: \[ 8(2x + 3) + 5(4 - x^2) = -40 \] \[ 16x + 24 + 20 - 5x^2 = -40 \] \[ -5x^2 + 16x + 44 = -40 \] \[ -5x^2 + 16x + 84 = 0 \] Умножим на -1: \[ 5x^2 - 16x - 84 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-84) = 256 + 1680 = 1936 = 44^2 \] \[ x_1 = \frac{16 + 44}{10} = \frac{60}{10} = 6 \] \[ x_2 = \frac{16 - 44}{10} = \frac{-28}{10} = -2,8 \] Ответ: -2,8; 6. Б) \(x^2 - 2x + \sqrt{7 - x} = \sqrt{7 - x} + 48\) Решение: Уравнение имеет смысл при \(7 - x \ge 0\), то есть \(x \le 7\). При этом условии слагаемое \(\sqrt{7 - x}\) в обеих частях взаимно уничтожается: \[ x^2 - 2x = 48 \] \[ x^2 - 2x - 48 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 2 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -48 \] Отсюда \(x_1 = 8\), \(x_2 = -6\). Проверим условие \(x \le 7\): \(8 \le 7\) — ложно (корень не подходит). \(-6 \le 7\) — истинно. Ответ: -6. В) \((x + 5)^4 + (x + 5)^2 - 12 = 0\) Решение: Пусть \((x + 5)^2 = t\), где \(t \ge 0\). \[ t^2 + t - 12 = 0 \] По теореме Виета: \(t_1 = -4\), \(t_2 = 3\). Так как \(t \ge 0\), подходит только \(t = 3\). Вернемся к замене: \[ (x + 5)^2 = 3 \] \[ x + 5 = \sqrt{3} \quad \text{или} \quad x + 5 = -\sqrt{3} \] \[ x_1 = -5 + \sqrt{3} \] \[ x_2 = -5 - \sqrt{3} \] Ответ: \(-5 \pm \sqrt{3}\). Задание 2. Решите неравенства. А) \(4 + (2x + 3)(2x - 1) > (2x + 7)^2\) Решение: Раскроем скобки: \[ 4 + (4x^2 - 2x + 6x - 3) > 4x^2 + 28x + 49 \] \[ 4 + 4x^2 + 4x - 3 > 4x^2 + 28x + 49 \] Перенесем слагаемые с \(x\) влево, а числа вправо: \[ 4x^2 + 4x - 4x^2 - 28x > 49 - 4 + 3 \] \[ -24x > 48 \] Разделим на -24, меняя знак неравенства: \[ x < -2 \] Ответ: \(x \in (-\infty; -2)\). Б) \(\frac{5 - \sqrt{21}}{x^2 - 10x + 9} > 0\) Решение: Оценим числитель: \(\sqrt{25} > \sqrt{21}\), значит \(5 - \sqrt{21} > 0\). Так как числитель положителен, дробь больше нуля тогда, когда знаменатель положителен: \[ x^2 - 10x + 9 > 0 \] Корни уравнения \(x^2 - 10x + 9 = 0\) по теореме Виета: \(x_1 = 1, x_2 = 9\). Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения больше нуля находятся вне корней. Ответ: \(x \in (-\infty; 1) \cup (9; +\infty)\). Задание 3. Решите систему уравнений. \[ \begin{cases} 3x^2 - 8x = y \\ 9x - 24 = y \end{cases} \] Решение: Приравняем правые части уравнений: \[ 3x^2 - 8x = 9x - 24 \] \[ 3x^2 - 17x + 24 = 0 \] \[ D = (-17)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 24 = 289 - 288 = 1 \] \[ x_1 = \frac{17 + 1}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{17 - 1}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \] Найдем соответствующие значения \(y\), подставив \(x\) во второе уравнение: 1) Если \(x_1 = 3\), то \(y_1 = 9 \cdot 3 - 24 = 27 - 24 = 3\). 2) Если \(x_2 = \frac{8}{3}\), то \(y_2 = 9 \cdot \frac{8}{3} - 24 = 3 \cdot 8 - 24 = 0\). Ответ: (3; 3), \((2\frac{2}{3}; 0)\).