Решение неравенства методом интервалов: пример

Для завершения решения неравенства методом интервалов необходимо определить знаки на каждом промежутке. Рассмотрим выражение: \[ f(x) = \frac{(x+1)(x-1)}{3x^4} \] Проверим знаки на интервалах, подставляя пробные точки: 1. Интервал \( (-\infty; -1) \): Возьмем \( x = -2 \). \[ f(-2) = \frac{(-2+1)(-2-1)}{3(-2)^4} = \frac{(-1) \cdot (-3)}{3 \cdot 16} = \frac{3}{48} > 0 \] Ставим знак \( + \). 2. Интервал \( (-1; 0) \): Возьмем \( x = -0,5 \). \[ f(-0,5) = \frac{(-0,5+1)(-0,5-1)}{3(-0,5)^4} = \frac{0,5 \cdot (-1,5)}{3 \cdot 0,0625} = \frac{-0,75}{0,1875} < 0 \] Ставим знак \( - \). 3. Интервал \( (0; 1) \): Возьмем \( x = 0,5 \). \[ f(0,5) = \frac{(0,5+1)(0,5-1)}{3(0,5)^4} = \frac{1,5 \cdot (-0,5)}{3 \cdot 0,0625} = \frac{-0,75}{0,1875} < 0 \] Ставим знак \( - \). (Обратите внимание: знак не изменился при переходе через 0, так как множитель \( x^4 \) стоит в четной степени). 4. Интервал \( (1; +\infty) \): Возьмем \( x = 2 \). \[ f(2) = \frac{(2+1)(2-1)}{3 \cdot 2^4} = \frac{3 \cdot 1}{48} > 0 \] Ставим знак \( + \). Итоговая расстановка знаков в кружочках слева направо: 1. Первый кружок: \( + \) 2. Второй кружок: \( - \) 3. Третий кружок: \( - \) 4. Четвертый кружок: \( + \) Так как в неравенстве стоит знак \( \geq 0 \), решением являются интервалы со знаком плюс и закрашенные точки.