Решение задачи: Найти уравнение плоскости при k=3 и n=-1

Дано: \(k = 3\), \(n = -1\). 1. Подставим значения \(k\) и \(n\) в координаты точки \(M\) и уравнение прямой. Координаты точки \(M\): \(x_M = k + 2n = 3 + 2(-1) = 1\) \(y_M = 2n = 2(-1) = -2\) \(z_M = -n - k = -(-1) - 3 = -2\) Итого: \(M(1; -2; -2)\). Уравнение прямой: \[ \frac{x - 3(3)}{2(3)} = \frac{y + 2(3) - (-1)}{-2(3)} = \frac{z - (-1)}{3} \] \[ \frac{x - 9}{6} = \frac{y + 7}{-6} = \frac{z + 1}{3} \] Направляющий вектор прямой \(\vec{s} = (6; -6; 3)\). Для удобства сократим его на 3: \(\vec{s} = (2; -2; 1)\). 2. Составим общее уравнение плоскости. Так как плоскость перпендикулярна прямой, направляющий вектор прямой \(\vec{s}\) является нормальным вектором плоскости \(\vec{n} = (2; -2; 1)\). Уравнение плоскости, проходящей через точку \(M(x_0; y_0; z_0)\): \[ A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \] Подставляем значения: \[ 2(x - 1) - 2(y - (-2)) + 1(z - (-2)) = 0 \] \[ 2x - 2 - 2y - 4 + z + 2 = 0 \] \[ 2x - 2y + z - 4 = 0 \] Это искомое общее уравнение плоскости. 3. Найдем проекцию точки \(M\) на прямую. Заметим, что по условию плоскость проходит через точку \(M\) и перпендикулярна прямой. Следовательно, проекция точки \(M\) на прямую — это точка пересечения данной прямой с этой плоскостью. Запишем уравнение прямой в параметрическом виде: \[ x = 9 + 6t \] \[ y = -7 - 6t \] \[ z = -1 + 3t \] Подставим эти выражения в уравнение плоскости \(2x - 2y + z - 4 = 0\): \[ 2(9 + 6t) - 2(-7 - 6t) + (-1 + 3t) - 4 = 0 \] \[ 18 + 12t + 14 + 12t - 1 + 3t - 4 = 0 \] \[ 27t + 27 = 0 \] \[ 27t = -27 \] \[ t = -1 \] Найдем координаты проекции (точки \(P\)), подставив \(t = -1\) в параметрические уравнения прямой: \[ x_P = 9 + 6(-1) = 3 \] \[ y_P = -7 - 6(-1) = -1 \] \[ z_P = -1 + 3(-1) = -4 \] Ответ: Общее уравнение плоскости: \(2x - 2y + z - 4 = 0\). Проекция точки \(M\) на прямую: \((3; -1; -4)\).