Контрольная работа №2: Квадратные корни, уравнения, трехчлен - Решение

Контрольная работа № 2 по теме "Квадратные корни. Квадратные уравнения. Квадратный трёхчлен" Задание 1. Вычислите: а) \( 6\sqrt{\frac{1}{9}} + 10\sqrt{1,96} = 6 \cdot \frac{1}{3} + 10 \cdot 1,4 = 2 + 14 = 16 \) б) \( 18 - 4\sqrt{\frac{1}{64}} = 18 - 4 \cdot \frac{1}{8} = 18 - 0,5 = 17,5 \) в) \( (3\sqrt{2,5})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2,5})^2 = 9 \cdot 2,5 = 22,5 \) Задание 2. Найдите значение выражения: а) \( \sqrt{0,36 \cdot 144} = \sqrt{0,36} \cdot \sqrt{144} = 0,6 \cdot 12 = 7,2 \) б) \( \sqrt{54} \cdot \sqrt{24} = \sqrt{54 \cdot 24} = \sqrt{9 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 4} = 3 \cdot 6 \cdot 2 = 36 \) в) \( \frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}} = \sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5} = 1,2 \) г) \( \sqrt{3^6 \cdot 2^4} = 3^3 \cdot 2^2 = 27 \cdot 4 = 108 \) Задание 3. Упростите выражение: а) \( \frac{4}{5}\sqrt{75} + \sqrt{2}(\sqrt{8} - \sqrt{24}) = \frac{4}{5}\sqrt{25 \cdot 3} + \sqrt{16} - \sqrt{48} = \frac{4}{5} \cdot 5\sqrt{3} + 4 - \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} + 4 - 4\sqrt{3} = 4 \) Задание 4. Решите уравнение: а) \( 3x^2 - 7x + 2 = 0 \) \[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 \] \[ x_1 = \frac{7 + 5}{6} = 2; \quad x_2 = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3} \] Ответ: \( \frac{1}{3}; 2 \) б) \( 25x^2 - 81 = 0 \) \[ 25x^2 = 81 \] \[ x^2 = \frac{81}{25} \] \[ x = \pm \frac{9}{5} = \pm 1,8 \] Ответ: \( -1,8; 1,8 \) в) \( 6x^2 = 18x \) \[ 6x^2 - 18x = 0 \] \[ 6x(x - 3) = 0 \] \[ x_1 = 0; \quad x_2 = 3 \] Ответ: \( 0; 3 \) Задание 5. Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) \( a^2 + a - 42 \) Корни по теореме Виета: \( a_1 = -7, a_2 = 6 \). \[ a^2 + a - 42 = (a + 7)(a - 6) \] б) \( 6x^2 + x - 22 \) \[ D = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-22) = 1 + 528 = 529 = 23^2 \] \[ x_1 = \frac{-1 + 23}{12} = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}; \quad x_2 = \frac{-1 - 23}{12} = -2 \] \[ 6x^2 + x - 22 = 6(x - \frac{11}{6})(x + 2) = (6x - 11)(x + 2) \] Задание 6. Решите уравнение: а) \( \frac{x^2}{x+1} = \frac{4x-3}{x+1} \) ОДЗ: \( x \neq -1 \) \[ x^2 = 4x - 3 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Оба корня подходят под ОДЗ. Ответ: \( 1; 3 \) б) \( \frac{x^2 - 2x - 35}{x^2 - 49} = \frac{3}{x+7} \) ОДЗ: \( x \neq \pm 7 \) Разложим числитель первой дроби: \( x^2 - 2x - 35 = (x-7)(x+5) \). Разложим знаменатель: \( x^2 - 49 = (x-7)(x+7) \). \[ \frac{(x-7)(x+5)}{(x-7)(x+7)} = \frac{3}{x+7} \] Сокращаем на \( (x-7) \), учитывая ОДЗ: \[ \frac{x+5}{x+7} = \frac{3}{x+7} \] \[ x + 5 = 3 \] \[ x = -2 \] Ответ: \( -2 \)