Решение системы линейных уравнений методом подстановки

Решение системы линейных уравнений методом подстановки. Дана система уравнений: \[ \begin{cases} x - y = 4 \\ 2x + 3y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 11 \end{cases} \] 1. Из первого уравнения выразим \(x\) через \(y\): \[ x = 4 + y \] 2. Подставим полученное выражение для \(x\) во второе и третье уравнения системы: \[ \begin{cases} 2(4 + y) + 3y + z = 1 \\ 2(4 + y) + y + 3z = 11 \end{cases} \] 3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ \begin{cases} 8 + 2y + 3y + z = 1 \\ 8 + 2y + y + 3z = 11 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 5y + z = 1 - 8 \\ 3y + 3z = 11 - 8 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 5y + z = -7 \\ 3y + 3z = 3 \end{cases} \] 4. Упростим второе уравнение, разделив его на 3: \[ y + z = 1 \] Отсюда выразим \(z\): \[ z = 1 - y \] 5. Подставим \(z = 1 - y\) в уравнение \(5y + z = -7\): \[ 5y + (1 - y) = -7 \] \[ 5y + 1 - y = -7 \] \[ 4y = -7 - 1 \] \[ 4y = -8 \] \[ y = -2 \] 6. Теперь найдем значения \(x\) и \(z\), подставляя \(y = -2\): \[ x = 4 + y = 4 + (-2) = 2 \] \[ z = 1 - y = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \] 7. Проверка: Подставим значения \(x = 2\), \(y = -2\), \(z = 3\) в исходные уравнения: 1) \(2 - (-2) = 2 + 2 = 4\) (Верно) 2) \(2(2) + 3(-2) + 3 = 4 - 6 + 3 = 1\) (Верно) 3) \(2(2) + (-2) + 3(3) = 4 - 2 + 9 = 11\) (Верно) Ответ: \(x = 2\), \(y = -2\), \(z = 3\).