Решение: Контрольная работа №2 по алгебре

Контрольная работа № 2 по теме "Квадратные корни. Квадратные уравнения. Квадратный трёхчлен" 1. Вычислите: а) \( 35\sqrt{\frac{1}{25}} + 4\sqrt{1,21} = 35 \cdot \frac{1}{5} + 4 \cdot 1,1 = 7 + 4,4 = 11,4 \) б) \( 23 - 2\sqrt{\frac{1}{16}} = 23 - 2 \cdot \frac{1}{4} = 23 - 0,5 = 22,5 \) в) \( (4\sqrt{1,5})^2 = 4^2 \cdot (\sqrt{1,5})^2 = 16 \cdot 1,5 = 24 \) 2. Найдите значение выражения: а) \( \sqrt{0,64 \cdot 81} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{81} = 0,8 \cdot 9 = 7,2 \) б) \( \sqrt{44} \cdot \sqrt{99} = \sqrt{44 \cdot 99} = \sqrt{4 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 11} = \sqrt{4 \cdot 9 \cdot 11^2} = 2 \cdot 3 \cdot 11 = 66 \) в) \( \frac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}} = \sqrt{\frac{28}{63}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 7}{9 \cdot 7}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \) г) \( \sqrt{5^6 \cdot 2^4} = 5^3 \cdot 2^2 = 125 \cdot 4 = 500 \) Упростите выражение: а) \( \frac{5}{4}\sqrt{48} + \sqrt{5}(\sqrt{5} - \sqrt{15}) = \frac{5}{4}\sqrt{16 \cdot 3} + \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{5} \cdot \sqrt{15} = \) \( = \frac{5}{4} \cdot 4\sqrt{3} + 5 - \sqrt{75} = 5\sqrt{3} + 5 - \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3} + 5 - 5\sqrt{3} = 5 \) Решите уравнение: а) \( 6x^2 - x - 1 = 0 \) \( D = (-1)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 1 + 24 = 25 \) \( x_1 = \frac{1 + 5}{12} = \frac{6}{12} = 0,5 \) \( x_2 = \frac{1 - 5}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3} \) Ответ: \( -1/3; 0,5 \) б) \( 36x^2 - 49 = 0 \) \( 36x^2 = 49 \) \( x^2 = \frac{49}{36} \) \( x = \pm \frac{7}{6} = \pm 1\frac{1}{6} \) Ответ: \( \pm 1\frac{1}{6} \) в) \( 7x^2 = 42x \) \( 7x^2 - 42x = 0 \) \( 7x(x - 6) = 0 \) \( x = 0 \) или \( x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6 \) Ответ: \( 0; 6 \) Разложите на множители квадратный трёхчлен: а) \( x^2 - 10x + 21 \) По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = 10, x_1 \cdot x_2 = 21 \Rightarrow x_1 = 3, x_2 = 7 \) \( x^2 - 10x + 21 = (x - 3)(x - 7) \) б) \( 5y^2 + 9y - 2 \) \( D = 9^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 \) \( y_1 = \frac{-9 + 11}{10} = 0,2 \) \( y_2 = \frac{-9 - 11}{10} = -2 \) \( 5y^2 + 9y - 2 = 5(y - 0,2)(y + 2) = (5y - 1)(y + 2) \) Решите уравнение: а) \( \frac{x^2}{x + 4} = \frac{6x - 8}{x + 4} \) ОДЗ: \( x + 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4 \) \( x^2 = 6x - 8 \) \( x^2 - 6x + 8 = 0 \) По теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = 4 \) (оба корня подходят по ОДЗ) Ответ: \( 2; 4 \) б) \( \frac{x^2 + 2x - 35}{x^2 - 25} = \frac{4}{x + 5} \) ОДЗ: \( x \neq 5, x \neq -5 \) Разложим числитель первой дроби: \( x^2 + 2x - 35 = (x + 7)(x - 5) \) Разложим знаменатель: \( x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5) \) \( \frac{(x + 7)(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{4}{x + 5} \) Сокращаем на \( (x - 5) \): \( \frac{x + 7}{x + 5} = \frac{4}{x + 5} \) \( x + 7 = 4 \) \( x = -3 \) (подходит по ОДЗ) Ответ: \( -3 \)