Решение:

Вариант 3. Найдите значение выражения: 1. \( 8 \cdot 8^{\log_8 6} \) Используем основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \): \[ 8 \cdot 8^{\log_8 6} = 8 \cdot 6 = 48 \] Ответ: 48. 2. \( 9^{\log_3 2} \) Представим 9 как \( 3^2 \): \[ (3^2)^{\log_3 2} = 3^{2 \log_3 2} = 3^{\log_3 2^2} = 3^{\log_3 4} = 4 \] Ответ: 4. 3. \( \log_{0,2} 125 \) Представим числа в виде степеней пятерки: \( 0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1} \) и \( 125 = 5^3 \): \[ \log_{5^{-1}} 5^3 = \frac{3}{-1} \log_5 5 = -3 \cdot 1 = -3 \] Ответ: -3. 4. \( \log_{0,5} 0,5 \) По определению логарифма \( \log_a a = 1 \): \[ \log_{0,5} 0,5 = 1 \] Ответ: 1. 5. \( (\log_6 216) \cdot (\log_9 729) \) Так как \( 216 = 6^3 \) и \( 729 = 9^3 \): \[ \log_6 6^3 \cdot \log_9 9^3 = 3 \cdot 3 = 9 \] Ответ: 9. 6. \( \log_6 54 - \log_6 1,5 \) Используем свойство разности логарифмов \( \log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c} \): \[ \log_6 \frac{54}{1,5} = \log_6 36 = \log_6 6^2 = 2 \] Ответ: 2. 7. \( \log_8 80 - \log_8 1,25 \) Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_8 \frac{80}{1,25} = \log_8 64 = \log_8 8^2 = 2 \] Ответ: 2. 8. \( \log_{25} 25 + \log_{0,2} 625 \) Первое слагаемое равно 1. Для второго: \( 0,2 = 5^{-1} \), \( 625 = 5^4 \): \[ 1 + \log_{5^{-1}} 5^4 = 1 + \frac{4}{-1} = 1 - 4 = -3 \] Ответ: -3. 9. \( \log_{0,55} 20 - \log_{0,55} 11 \) Используем свойство разности логарифмов: \[ \log_{0,55} \frac{20}{11} \approx \log_{0,55} 1,818... \] Заметим, что \( 0,55 = \frac{55}{100} = \frac{11}{20} \). Тогда \( \frac{20}{11} = (0,55)^{-1} \): \[ \log_{0,55} (0,55)^{-1} = -1 \] Ответ: -1. 10. \( \frac{\log_8 20}{\log_8 5} + \log_5 0,05 \) Применим формулу перехода к новому основанию \( \frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a \): \[ \log_5 20 + \log_5 0,05 = \log_5 (20 \cdot 0,05) = \log_5 1 = 0 \] Ответ: 0. 11. \( \log_{0,4} 9 \cdot \log_9 2,5 \) Используем формулу \( \log_a b \cdot \log_b c = \log_a c \): \[ \log_{0,4} 2,5 \] Так как \( 0,4 = \frac{2}{5} \) и \( 2,5 = \frac{5}{2} = (\frac{2}{5})^{-1} \): \[ \log_{2/5} (2/5)^{-1} = -1 \] Ответ: -1.