Решение задачи: Периметр треугольника, площадь квадрата

Ниже представлено решение задачи для записи в тетрадь. Дано: \( P_{\triangle} = 54 \) см — периметр правильного треугольника. Окружность для треугольника и квадрата общая (описанная). Найти: \( S_{кв.} \) — площадь квадрата. Решение: 1. Найдем сторону правильного треугольника \( a_3 \): \[ a_3 = \frac{P_{\triangle}}{3} = \frac{54}{3} = 18 \text{ см} \] 2. Найдем радиус \( R \) описанной окружности через сторону треугольника по формуле \( R = \frac{a_3}{\sqrt{3}} \): \[ R = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \] 3. Квадрат вписан в ту же окружность, значит, его диагональ \( d \) равна диаметру этой окружности: \[ d = 2R = 2 \cdot 6\sqrt{3} = 12\sqrt{3} \text{ см} \] 4. Площадь квадрата \( S_{кв.} \) можно найти через его диагональ по формуле: \[ S_{кв.} = \frac{d^2}{2} \] \[ S_{кв.} = \frac{(12\sqrt{3})^2}{2} = \frac{144 \cdot 3}{2} \] \[ S_{кв.} = 72 \cdot 3 = 216 \text{ см}^2 \] Ответ: 216