Найти количество сторон правильного многоугольника с углом 135 градусов

Ниже представлено решение задачи для записи в тетрадь. Дано: Правильный \( n \)-угольник. Угол многоугольника \( \alpha = 135^\circ \). Найти: Количество сторон \( n \). Решение: Самый простой способ решения — через внешний угол многоугольника. 1. Сумма внутреннего и внешнего угла при одной вершине равна \( 180^\circ \). Найдем внешний угол \( \beta \): \[ \beta = 180^\circ - \alpha \] \[ \beta = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] 2. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника равна \( 360^\circ \). Так как многоугольник правильный, все его внешние углы равны. Чтобы найти количество сторон \( n \), разделим общую сумму на величину одного угла: \[ n = \frac{360^\circ}{\beta} \] \[ n = \frac{360^\circ}{45^\circ} \] \[ n = 8 \] Проверка через формулу суммы внутренних углов: Сумма углов \( n \)-угольника равна \( 180^\circ \cdot (n - 2) \). Для восьмиугольника: \( 180^\circ \cdot (8 - 2) = 180^\circ \cdot 6 = 1080^\circ \). Один угол: \( 1080^\circ : 8 = 135^\circ \). Значение совпадает с условием. Ответ: 8