Решение неравенств: линейные и квадратные

Домашняя работа по теме «Линейные и квадратные неравенства» Задание 1. Решите линейное неравенство: \( 3x - 7 > 2x + 5 \) Решение: Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа в правую: \( 3x - 2x > 5 + 7 \) \( x > 12 \) Ответ: \( (12; +\infty) \) Задание 2. Решите линейное неравенство: \( -4(x + 2) \le 12 - 2x \) Решение: Раскроем скобки: \( -4x - 8 \le 12 - 2x \) Перенесем слагаемые: \( -4x + 2x \le 12 + 8 \) \( -2x \le 20 \) Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \( x \ge -10 \) Ответ: \( [-10; +\infty) \) Задание 3. Решите линейное неравенство: \( 32x - 1 < x + 4 \) Решение: \( 32x - x < 4 + 1 \) \( 31x < 5 \) \( x < \frac{5}{31} \) Ответ: \( (-\infty; \frac{5}{31}) \) Задание 4. Решите квадратное неравенство методом интервалов: \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) Решение: Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). По теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = 3 \) Разложим на множители: \( (x - 2)(x - 3) > 0 \). На числовой прямой отметим точки 2 и 3. Определим знаки на интервалах: на \( (-\infty; 2) \) знак «+», на \( (2; 3) \) знак «-», на \( (3; +\infty) \) знак «+». Нам нужны интервалы со знаком «+». Ответ: \( (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \) Задание 5. Решите квадратное неравенство, используя дискриминант: \( 2x^2 + 3x - 2 \le 0 \) Решение: Найдем корни уравнения \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \): \( D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \) \( x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = 0,5 \) \( x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \) Так как коэффициент при \( x^2 \) положителен (\( 2 > 0 \)), ветви параболы направлены вверх. Неравенство \( \le 0 \) выполняется между корнями. Ответ: \( [-2; 0,5] \) Задание 6. Решите квадратное неравенство: \( -x^2 + 4x - 3 \ge 0 \) Решение: Умножим на \( -1 \), сменив знак неравенства: \( x^2 - 4x + 3 \le 0 \) Корни уравнения \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) по теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Так как ветви параболы направлены вверх, значения \( \le 0 \) находятся между корнями. Ответ: \( [1; 3] \) Задание 7. Решите неравенство, предварительно приведя его к квадратному виду: \( (x - 1)(x + 3) < 2x + 6 \) Решение: Раскроем скобки: \( x^2 + 3x - x - 3 < 2x + 6 \) \( x^2 + 2x - 3 < 2x + 6 \) Перенесем всё в левую часть: \( x^2 - 9 < 0 \) \( (x - 3)(x + 3) < 0 \) Корни: \( x = 3, x = -3 \). Значения меньше нуля находятся между корнями. Ответ: \( (-3; 3) \) Задание 8. Решите неравенство с модулем: \( |2x - 3| < 5 \) Решение: Данное неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} 2x - 3 < 5 \\ 2x - 3 > -5 \end{cases} \] \[ \begin{cases} 2x < 8 \\ 2x > -2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x < 4 \\ x > -1 \end{cases} \] Ответ: \( (-1; 4) \) Задание 9. Решите двойное неравенство: \( -1 < 3x + 2 \le 8 \) Решение: Вычтем 2 из всех частей: \( -1 - 2 < 3x \le 8 - 2 \) \( -3 < 3x \le 6 \) Разделим на 3: \( -1 < x \le 2 \) Ответ: \( (-1; 2] \) Задание 10. Решите квадратное неравенство, определив знаки на интервалах: \( x^2 + 2x - 8 \ge 0 \) Решение: Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \): По теореме Виета: \( x_1 = -4, x_2 = 2 \). Расставим знаки на интервалах: на \( (-\infty; -4] \) знак «+», на \( [-4; 2] \) знак «-», на \( [2; +\infty) \) знак «+». Нам нужны интервалы \( \ge 0 \). Ответ: \( (-\infty; -4] \cup [2; +\infty) \)