Решение неравенства -4x^2 + 6x ≤ 0

Самостоятельная работа по теме «Решение квадратичных неравенств» Вариант 1 Задание 1. Решите неравенство \(-4x^2 + 6x \le 0\). Решение: Умножим обе части на \(-1\), меняя знак неравенства: \[4x^2 - 6x \ge 0\] Разложим на множители: \[2x(2x - 3) \ge 0\] Найдем корни уравнения \(2x(2x - 3) = 0\): \[x_1 = 0, \quad x_2 = 1,5\] Парабола ветвями вверх пересекает ось \(Ox\) в точках \(0\) и \(1,5\). Значения \(\ge 0\) находятся по краям. Ответ: \(x \in (-\infty; 0] \cup [1,5; +\infty)\). Задание 2. Решите неравенство \(3x^2 - 12 \ge 0\). Решение: Разделим обе части на \(3\): \[x^2 - 4 \ge 0\] Разложим по формуле разности квадратов: \[(x - 2)(x + 2) \ge 0\] Корни: \(x_1 = 2, \quad x_2 = -2\). Парабола ветвями вверх, выбираем промежутки, где функция положительна или равна нулю. Ответ: \(x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)\). Задание 3. Решите неравенство \(2x^2 + 9 > 0\). Решение: Заметим, что выражение \(x^2\) всегда неотрицательно (\(\ge 0\)) для любого действительного \(x\). Следовательно, \(2x^2 \ge 0\), а \(2x^2 + 9 \ge 9\). Значит, выражение \(2x^2 + 9\) всегда больше нуля при любом значении \(x\). Ответ: \(x \in (-\infty; +\infty)\) (или любая действительная переменная). Задание 4. Решите неравенство \(3x^2 - 5x + 4 < 0\). Решение: Найдем дискриминант квадратного трехчлена \(D = b^2 - 4ac\): \[D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 25 - 48 = -23\] Так как \(D < 0\), квадратный трехчлен не имеет корней. Коэффициент \(a = 3 > 0\), значит, ветви параболы направлены вверх и она вся лежит выше оси \(Ox\). Следовательно, выражение \(3x^2 - 5x + 4\) всегда положительно и никогда не может быть меньше нуля. Ответ: решений нет (пустое множество). Задание 5. Решите неравенство \(2x^2 - 6x + 3 > 0\). Решение: Найдем корни уравнения \(2x^2 - 6x + 3 = 0\) через дискриминант: \[D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12\] \[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}\] Корни: \(x_1 = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}, \quad x_2 = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}\). Так как ветви параболы направлены вверх (\(a = 2 > 0\)), неравенство \(> 0\) выполняется на внешних промежутках. Ответ: \(x \in (-\infty; \frac{3 - \sqrt{3}}{2}) \cup (\frac{3 + \sqrt{3}}{2}; +\infty)\).