Решение задачи 12.5: Найти f(0) для f(f(x)) = x² - x + 1

Задача 12.5. Дано функциональное уравнение: \[ f(f(x)) = x^2 - x + 1 \] Найти значение \( f(0) \). Решение: 1. Обозначим искомое значение \( f(0) \) через константу \( a \). То есть \( f(0) = a \). 2. Подставим в исходное уравнение значение \( x = 0 \): \[ f(f(0)) = 0^2 - 0 + 1 \] \[ f(a) = 1 \] 3. Теперь воспользуемся основным свойством композиции функций. Известно, что для любого \( x \) выполняется равенство \( f(f(f(x))) = f(f(f(x))) \). Мы можем применить функцию \( f \) к обеим частям исходного уравнения: \[ f(f(f(x))) = f(x^2 - x + 1) \] 4. С другой стороны, мы можем подставить вместо \( x \) выражение \( f(x) \) в исходное уравнение: \[ f(f(f(x))) = (f(x))^2 - f(x) + 1 \] 5. Таким образом, получаем тождество: \[ f(x^2 - x + 1) = (f(x))^2 - f(x) + 1 \] 6. Подставим в это тождество \( x = 0 \): \[ f(0^2 - 0 + 1) = (f(0))^2 - f(0) + 1 \] \[ f(1) = a^2 - a + 1 \] 7. Ранее во втором пункте мы получили, что \( f(a) = 1 \). Подставим теперь в тождество из пункта 5 значение \( x = a \): \[ f(a^2 - a + 1) = (f(a))^2 - f(a) + 1 \] Так как \( f(a) = 1 \), то: \[ f(a^2 - a + 1) = 1^2 - 1 + 1 \] \[ f(a^2 - a + 1) = 1 \] 8. Заметим, что из пункта 6 \( f(1) = a^2 - a + 1 \). Подставим это значение аргумента в исходное уравнение \( f(f(x)) = x^2 - x + 1 \), взяв \( x = 1 \): \[ f(f(1)) = 1^2 - 1 + 1 \] \[ f(f(1)) = 1 \] Подставляем вместо \( f(1) \) выражение \( a^2 - a + 1 \): \[ f(a^2 - a + 1) = 1 \] Это подтверждает наши предыдущие выкладки, но не дает сразу значения \( a \). 9. Вернемся к равенству \( f(1) = a^2 - a + 1 \). Применим функцию \( f \) к обеим частям: \[ f(f(1)) = f(a^2 - a + 1) \] Левая часть \( f(f(1)) \) по условию равна \( 1^2 - 1 + 1 = 1 \). Значит, \( f(a^2 - a + 1) = 1 \). 10. Рассмотрим исходное уравнение при \( x = 1 \): \[ f(f(1)) = 1 \] Если предположить, что функция \( f(x) \) — это квадратный трехчлен или монотонная функция на определенном промежутке, то простейшим решением будет случай, когда аргументы совпадают. Заметим, что если \( f(0) = a \), то \( f(a) = 1 \). Если \( a = 1 \), то \( f(0) = 1 \) и \( f(1) = 1 \). Проверим это: если \( f(1) = 1 \), то \( f(f(1)) = f(1) = 1 \). По условию \( f(f(1)) = 1^2 - 1 + 1 = 1 \). Равенство верно. Если \( f(0) = 1 \), то \( f(f(0)) = f(1) = 1 \). По условию \( f(f(0)) = 0^2 - 0 + 1 = 1 \). Равенство верно. Следовательно, значение \( f(0) = 1 \) удовлетворяет условию задачи. Ответ: \( f(0) = 1 \).