Решение предела функции: пример с разложением на множители

Ниже представлено решение задач на нахождение пределов, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Найти предел: \[ \lim_{x \to 1} \frac{5x^2 - x - 4}{3x - x^2 - 2} \] (Примечание: судя по структуре выражения, \(x_0 = 1\), так как при этом значении получается неопределенность вида \( \frac{0}{0} \)). Решение: 1. Разложим числитель \( 5x^2 - x - 4 \) на множители. Найдем корни уравнения \( 5x^2 - x - 4 = 0 \): \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \] \[ x_1 = \frac{1 + 9}{10} = 1; \quad x_2 = \frac{1 - 9}{10} = -0.8 \] Следовательно, \( 5x^2 - x - 4 = 5(x - 1)(x + 0.8) = (x - 1)(5x + 4) \). 2. Разложим знаменатель \( -x^2 + 3x - 2 \) на множители. Найдем корни уравнения \( -x^2 + 3x - 2 = 0 \): \[ D = 3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 9 - 8 = 1 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 1}{-2} = 1; \quad x_2 = \frac{-3 - 1}{-2} = 2 \] Следовательно, \( -x^2 + 3x - 2 = -(x - 1)(x - 2) = (x - 1)(2 - x) \). 3. Подставим разложения в предел и сократим на \( (x - 1) \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(5x + 4)}{(x - 1)(2 - x)} = \lim_{x \to 1} \frac{5x + 4}{2 - x} = \frac{5 \cdot 1 + 4}{2 - 1} = \frac{9}{1} = 9 \] Ответ: 9. Задание 2. Найти предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x \cdot \text{tg } 2x}{x^2} \] Решение: Для решения воспользуемся первым замечательным пределом и его следствиями: \[ \lim_{\alpha \to 0} \frac{\sin \alpha}{\alpha} = 1 \quad \text{и} \quad \lim_{\alpha \to 0} \frac{\text{tg } \alpha}{\alpha} = 1 \] Преобразуем выражение так, чтобы выделить эти пределы: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 6x}{x} \cdot \frac{\text{tg } 2x}{x} \right) \] Домножим и разделим на соответствующие коэффициенты: \[ \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin 6x}{6x} \cdot 6 \cdot \frac{\text{tg } 2x}{2x} \cdot 2 \right) = 1 \cdot 6 \cdot 1 \cdot 2 = 12 \] Ответ: 12.