Решение задачи на нахождение производной функции

На фотографии представлены две функции, для которых, вероятнее всего, требуется найти производные. Ниже приведено пошаговое решение, оформленное для записи в тетрадь. Задание: Найти производные функций \( y' \). 1. Решение для первой функции: \[ y = \left( x^6 + \frac{3}{x^4} - 8 \right)^2 \] Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции \( (u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u' \). Представим дробь в виде степени: \( \frac{3}{x^4} = 3x^{-4} \). \[ y' = 2 \cdot \left( x^6 + 3x^{-4} - 8 \right)^{2-1} \cdot \left( x^6 + 3x^{-4} - 8 \right)' \] Вычисляем производную внутренней части: \[ (x^6)' = 6x^5 \] \[ (3x^{-4})' = 3 \cdot (-4)x^{-5} = -12x^{-5} = -\frac{12}{x^5} \] \[ (8)' = 0 \] Собираем всё вместе: \[ y' = 2 \left( x^6 + \frac{3}{x^4} - 8 \right) \left( 6x^5 - \frac{12}{x^5} \right) \] Можно вынести 6 из второй скобки: \[ y' = 12 \left( x^6 + \frac{3}{x^4} - 8 \right) \left( x^5 - \frac{2}{x^5} \right) \] 2. Решение для второй функции: \[ y = \frac{\sqrt{2-5x}}{\sin 3x} \] Воспользуемся правилом производной частного \( \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \). Находим производные числителя и знаменателя: \[ u' = (\sqrt{2-5x})' = \frac{1}{2\sqrt{2-5x}} \cdot (2-5x)' = \frac{-5}{2\sqrt{2-5x}} \] \[ v' = (\sin 3x)' = \cos 3x \cdot (3x)' = 3\cos 3x \] Подставляем в формулу: \[ y' = \frac{\frac{-5}{2\sqrt{2-5x}} \cdot \sin 3x - \sqrt{2-5x} \cdot 3\cos 3x}{(\sin 3x)^2} \] Для упрощения приведем числитель к общему знаменателю \( 2\sqrt{2-5x} \): \[ y' = \frac{-5\sin 3x - 6(2-5x)\cos 3x}{2\sqrt{2-5x} \cdot \sin^2 3x} \] Ответ: \[ y' = -\frac{5\sin 3x + 6(2-5x)\cos 3x}{2\sqrt{2-5x} \sin^2 3x} \]