Решение системы уравнений x^2 + y^2 = 65 и xy = 8

Задание 20. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65 \\ xy = 8 \end{cases} \] Решение: Для решения данной системы воспользуемся методом сложения, предварительно преобразовав второе уравнение. Умножим второе уравнение на 2: \[ 2xy = 16 \] Теперь сложим первое уравнение с полученным результатом: \[ x^2 + 2xy + y^2 = 65 + 16 \] \[ (x + y)^2 = 81 \] Отсюда следует два случая: 1) \( x + y = 9 \) 2) \( x + y = -9 \) Также вычтем из первого уравнения удвоенное второе: \[ x^2 - 2xy + y^2 = 65 - 16 \] \[ (x - y)^2 = 49 \] Отсюда также следует два случая: 1) \( x - y = 7 \) 2) \( x - y = -7 \) Рассмотрим возможные комбинации систем линейных уравнений: А) \( \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = 7 \end{cases} \) Складываем: \( 2x = 16 \Rightarrow x = 8 \). Вычитаем: \( 2y = 2 \Rightarrow y = 1 \). Пара: \( (8; 1) \). Б) \( \begin{cases} x + y = 9 \\ x - y = -7 \end{cases} \) Складываем: \( 2x = 2 \Rightarrow x = 1 \). Вычитаем: \( 2y = 16 \Rightarrow y = 8 \). Пара: \( (1; 8) \). В) \( \begin{cases} x + y = -9 \\ x - y = 7 \end{cases} \) Складываем: \( 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \). Вычитаем: \( 2y = -16 \Rightarrow y = -8 \). Пара: \( (-1; -8) \). Г) \( \begin{cases} x + y = -9 \\ x - y = -7 \end{cases} \) Складываем: \( 2x = -16 \Rightarrow x = -8 \). Вычитаем: \( 2y = -2 \Rightarrow y = -1 \). Пара: \( (-8; -1) \). Проверка: во всех случаях \( xy = 8 \) и \( x^2 + y^2 = 64 + 1 = 65 \). Ответ: \( (8; 1), (1; 8), (-1; -8), (-8; -1) \).