Решение задачи №2 по геометрии

Задача №2 Дано: \(AF = BF = CF = DF = 13\) \(FO \perp (ABC)\) \(ABCD\) — прямоугольник \(AB = 6\), \(AD = 8\) Найти: \(H\) (высоту \(FO\)) Решение: 1. Рассмотрим прямоугольник \(ABCD\). По условию \(AB = 6\), \(AD = 8\). Так как это прямоугольник, то сторона \(BC = AD = 8\). Найдем диагональ \(AC\) по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника \(ABC\): \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\] 2. Так как \(FO \perp (ABC)\) и все боковые ребра равны (\(AF=BF=CF=DF\)), точка \(O\) является центром описанной около прямоугольника окружности. В прямоугольнике центр описанной окружности лежит в точке пересечения диагоналей и делит их пополам. Следовательно: \[AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5\] 3. Рассмотрим треугольник \(AOF\). Так как \(FO \perp (ABC)\), то \(FO \perp AO\), значит треугольник \(AOF\) — прямоугольный (угол \(AOF = 90^\circ\)). В нем гипотенуза \(AF = 13\), катет \(AO = 5\). Найдем высоту \(H = FO\) по теореме Пифагора: \[FO = \sqrt{AF^2 - AO^2}\] \[FO = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\] Ответ: \(H = 12\).