Решение задач по геометрии: векторы

Ниже представлены решения выбранных задач из вашего списка, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1. В квадрате ABCD найдите угол между векторами \(\vec{AB}\) и \(\vec{AC}\). Решение: В квадрате диагональ AC является биссектрисой угла A. Так как угол квадрата равен \(90^\circ\), то угол между стороной AB и диагональю AC равен: \[\angle(\vec{AB}, \vec{AC}) = 90^\circ : 2 = 45^\circ\] Ответ: \(45^\circ\). Задача 3. Дан правильный треугольник ABC со сторонами 8. Найдите скалярное произведение \(\vec{AB} \cdot \vec{AC}\). Решение: Скалярное произведение векторов вычисляется по формуле: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos \alpha\] В правильном треугольнике все углы равны \(60^\circ\). \[\vec{AB} \cdot \vec{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 60^\circ = 8 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} = 32\] Ответ: 32. Задача 11. Вычислите скалярное произведение векторов \(\vec{a}(3; -2)\) и \(\vec{b}(-2; 4)\). Решение: Скалярное произведение векторов через координаты находится как сумма произведений соответствующих координат: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\] \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 4 = -6 - 8 = -14\] Ответ: -14. Задача 13. При каком значении \(x\) векторы \(\vec{a}(x; -3)\) и \(\vec{b}(4; 8)\) перпендикулярны? Решение: Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю: \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\] \[x \cdot 4 + (-3) \cdot 8 = 0\] \[4x - 24 = 0\] \[4x = 24\] \[x = 6\] Ответ: 6. Задача 20. Даны векторы \(\vec{m}(4; -3)\), \(\vec{n}(2; -5)\), \(\vec{k}(-3; 3)\) и \(\vec{p}(3; -5)\). Найдите скалярное произведение \((\vec{m} + \vec{n}) \cdot (\vec{k} - \vec{p})\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(\vec{a} = \vec{m} + \vec{n}\): \[\vec{a} = (4 + 2; -3 + (-5)) = (6; -8)\] 2) Найдем координаты вектора \(\vec{b} = \vec{k} - \vec{p}\): \[\vec{b} = (-3 - 3; 3 - (-5)) = (-6; 8)\] 3) Найдем скалярное произведение \(\vec{a} \cdot \vec{b}\): \[\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot (-6) + (-8) \cdot 8 = -36 - 64 = -100\] Ответ: -100. Задача 27. В параллелограмме ABCD известны координаты трех вершин: \(A(0; 0)\), \(B(5; 0)\), \(C(12; 3)\). Найдите скалярное произведение векторов \(\vec{AB}\) и \(\vec{AD}\). Решение: 1) Найдем координаты вектора \(\vec{AB}\): \[\vec{AB} = (5 - 0; 0 - 0) = (5; 0)\] 2) В параллелограмме \(\vec{AD} = \vec{BC}\). Найдем координаты \(\vec{BC}\): \[\vec{BC} = (12 - 5; 3 - 0) = (7; 3)\] Следовательно, \(\vec{AD}(7; 3)\). 3) Вычислим скалярное произведение: \[\vec{AB} \cdot \vec{AD} = 5 \cdot 7 + 0 \cdot 3 = 35\] Ответ: 35.