Решение задачи: Угол между диагоналями прямоугольника

Дано: Прямоугольник. Угол между диагональю и стороной \(\alpha = 40^{\circ}\). Найти: острый угол между диагоналями (\(\gamma\)). Решение: 1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Это значит, что точка пересечения диагоналей образует с вершинами прямоугольника равнобедренные треугольники. 2. Рассмотрим равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются половины диагоналей, а основанием — сторона прямоугольника. Углы при основании этого треугольника равны, так как он равнобедренный. Значит, второй угол при основании также равен \(40^{\circ}\). 3. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Найдем угол при вершине этого треугольника (это и есть угол между диагоналями): \[\beta = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 40^{\circ}) = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}\] 4. Мы получили один из углов между диагоналями. Углы между диагоналями являются смежными. Найдем второй угол: \[\gamma = 180^{\circ} - 100^{\circ} = 80^{\circ}\] 5. По условию задачи нам нужно найти острый угол. Сравним \(100^{\circ}\) и \(80^{\circ}\). Острым является угол \(80^{\circ}\). Ответ: 80.