Решение задачи: наименьший угол между диагоналями прямоугольника

Дано: Прямоугольник \(ABCD\). Диагонали пересекаются в точке \(O\). Угол между диагональю и стороной \(\angle OAD = 34^{\circ}\). Найти: наименьший угол между диагоналями. Решение: 1. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, \(AO = OD\). 2. Рассмотрим треугольник \(AOD\). Так как \(AO = OD\), этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[\angle ODA = \angle OAD = 34^{\circ}\] 3. Сумма углов в треугольнике равна \(180^{\circ}\). Найдем угол при вершине \(O\) (угол между диагоналями): \[\angle AOD = 180^{\circ} - (\angle OAD + \angle ODA)\] \[\angle AOD = 180^{\circ} - (34^{\circ} + 34^{\circ}) = 180^{\circ} - 68^{\circ} = 112^{\circ}\] 4. Углы при пересечении диагоналей являются смежными. Найдем второй угол (\(\angle AOB\)): \[\angle AOB = 180^{\circ} - 112^{\circ} = 68^{\circ}\] 5. Сравним полученные углы: \(112^{\circ}\) и \(68^{\circ}\). Наименьшим является угол \(68^{\circ}\). Ответ: 68.