Решение задачи по эконометрике

Ниже представлены решения задач, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Задача 1 Дано: Уравнение регрессии: \( \ln y = 6,8 - 0,6 \ln x + \ln \varepsilon \) Коэффициент эластичности (оценка): \( \hat{b} = -0,6 \) Фактическое значение t-критерия для коэффициента: \( t_{факт} = -2,5 \) Число наблюдений: \( n = 24 \) Предполагаемое значение эластичности: \( b_0 = -1,2 \) Уровень значимости: \( \alpha = 0,01 \) Решение: 1. Сформулируем гипотезы: \( H_0: b = -1,2 \) (предположение верно) \( H_1: b \neq -1,2 \) (предположение неверно) 2. Найдем стандартную ошибку коэффициента \( S_b \). Известно, что \( t_{факт} = \frac{\hat{b}}{S_b} \). Отсюда \( S_b = \frac{\hat{b}}{t_{факт}} = \frac{-0,6}{-2,5} = 0,24 \). 3. Вычислим t-статистику для проверки гипотезы о равенстве коэффициента значению -1,2: \[ t = \frac{\hat{b} - b_0}{S_b} = \frac{-0,6 - (-1,2)}{0,24} = \frac{0,6}{0,24} = 2,5 \] 4. Определим критическое значение \( t_{табл} \) для \( \alpha = 0,01 \) и числа степеней свободы \( df = n - 2 = 24 - 2 = 22 \). По таблице Стьюдента: \( t_{крит}(0,01; 22) \approx 2,819 \). 5. Сравнение: Так как \( |t| = 2,5 < t_{табл} = 2,819 \), гипотеза \( H_0 \) не отвергается. Ответ: Да, на уровне значимости 0,01 результаты исследования подтверждают предположение. Задача 2 Дано: \( n = 18 \) Сумма квадратов, объясненная регрессией: \( SS_{reg} = \sum (\hat{y} - \bar{y})^2 = 32000 \) Общая сумма квадратов: \( SS_{total} = \sum (y - \bar{y})^2 = 40000 \) Решение: 1. Найдем остаточную сумму квадратов: \( SS_{res} = SS_{total} - SS_{reg} = 40000 - 32000 = 8000 \). 2. Рассчитаем фактическое значение F-критерия: \[ F_{факт} = \frac{SS_{reg} / k}{SS_{res} / (n - k - 1)} \] Для парной регрессии \( k = 1 \): \[ F_{факт} = \frac{32000 / 1}{8000 / (18 - 1 - 1)} = \frac{32000}{8000 / 16} = \frac{32000}{500} = 64 \] 3. Найдем критические значения \( F_{табл} \) при \( k_1 = 1, k_2 = 16 \): Для \( \alpha = 0,05 \): \( F_{табл} \approx 4,49 \) Для \( \alpha = 0,01 \): \( F_{табл} \approx 8,53 \) 4. Сравнение: \( F_{факт} = 64 > 4,49 \) и \( 64 > 8,53 \). Ответ: Уравнение регрессии статистически значимо на обоих уровнях. Задача 3 Дано: Прогнозное среднее: \( \mu_0 = 120 \) Стандартное отклонение: \( \sigma = 20 \) Выборка: \( n = 9 \), \( \bar{x} = 135 \) Уровень значимости: \( \alpha = 0,05 \) Решение: 1. Гипотезы: \( H_0: \mu = 120 \); \( H_1: \mu \neq 120 \). 2. Так как \( \sigma \) известна, используем Z-критерий: \[ Z_{факт} = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{135 - 120}{20 / \sqrt{9}} = \frac{15}{20 / 3} = \frac{15 \cdot 3}{20} = 2,25 \] 3. Критическое значение для \( \alpha = 0,05 \) (двустороннее): \( Z_{табл} = 1,96 \). 4. Сравнение: \( |Z_{факт}| = 2,25 > 1,96 \). Гипотеза \( H_0 \) отвергается. Ответ: Прогноз отвергается. Задача 4 Дано: Общая численность: \( N = 200 \) Выборка: \( n = 20 \) Средняя зарплата в выборке: \( \bar{x} = 600 \) Среднеквадратическое отклонение: \( s = 100 \) Надежность: \( 0,95 \) (\( \alpha = 0,05 \)) Решение: 1. Найдем доверительный интервал для средней зарплаты одного сотрудника. Используем t-распределение (\( df = 19 \)): \( t_{0,05; 19} \approx 2,093 \). 2. Ошибка выборки (с учетом конечной совокупности): \[ \Delta = t \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{1 - \frac{n}{N}} = 2,093 \cdot \frac{100}{\sqrt{20}} \cdot \sqrt{1 - \frac{20}{200}} \] \[ \Delta \approx 2,093 \cdot 22,36 \cdot 0,9487 \approx 44,4 \] 3. Интервал для средней зарплаты: \( 600 \pm 44,4 \), то есть от 555,6 до 644,4 у.е. 4. Суммарные затраты на 200 человек: Нижняя граница: \( 200 \cdot 555,6 = 111120 \) у.е. Верхняя граница: \( 200 \cdot 644,4 = 128880 \) у.е. Ответ: С надежностью 95% суммарные затраты банка составят от 111120 до 128880 у.е.