Решение задач по теме: Линейные и квадратные неравенства

Домашняя работа по теме «Линейные и квадратные неравенства» Задание 1. Решите линейное неравенство: \[ 3x - 7 > 2x + 5 \] Перенесем слагаемые с \( x \) в левую часть, а числа — в правую: \[ 3x - 2x > 5 + 7 \] \[ x > 12 \] Ответ: \( x \in (12; +\infty) \) Задание 2. Решите линейное неравенство: \[ -4(x + 2) \le 12 - 2x \] Раскроем скобки: \[ -4x - 8 \le 12 - 2x \] Перенесем слагаемые: \[ -4x + 2x \le 12 + 8 \] \[ -2x \le 20 \] Разделим на \( -2 \), меняя знак неравенства: \[ x \ge -10 \] Ответ: \( x \in [-10; +\infty) \) Задание 3. Решите линейное неравенство: \[ 32x - 1 < x + 4 \] \[ 32x - x < 4 + 1 \] \[ 31x < 5 \] \[ x < \frac{5}{31} \] Ответ: \( x \in (-\infty; \frac{5}{31}) \) Задание 4. Решите квадратное неравенство методом интервалов: \[ x^2 - 5x + 6 > 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) по теореме Виета: \[ x_1 = 2, x_2 = 3 \] Разложим на множители: \( (x - 2)(x - 3) > 0 \). Расставим знаки на интервалах: \( + \) на \( (-\infty; 2) \), \( - \) на \( (2; 3) \), \( + \) на \( (3; +\infty) \). Нам нужен промежуток со знаком \( + \). Ответ: \( x \in (-\infty; 2) \cup (3; +\infty) \) Задание 5. Решите квадратное неравенство, используя дискриминант: \[ 2x^2 + 3x - 2 \le 0 \] Найдем корни уравнения \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \): \[ D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{-3 + 5}{4} = 0,5; \quad x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = -2 \] Так как ветви параболы направлены вверх, значения \( \le 0 \) находятся между корнями. Ответ: \( x \in [-2; 0,5] \) Задание 6. Решите квадратное неравенство: \[ -x^2 + 4x - 3 \ge 0 \] Умножим на \( -1 \), меняя знак: \[ x^2 - 4x + 3 \le 0 \] Корни уравнения по теореме Виета: \( x_1 = 1, x_2 = 3 \). Решением неравенства \( \le 0 \) для параболы с ветвями вверх является отрезок между корнями. Ответ: \( x \in [1; 3] \) Задание 7. Решите неравенство, предварительно приведя его к квадратному виду: \[ (x - 1)(x + 3) < 2x + 6 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 3x - x - 3 < 2x + 6 \] \[ x^2 + 2x - 3 < 2x + 6 \] \[ x^2 - 9 < 0 \] \[ (x - 3)(x + 3) < 0 \] Корни: \( x = 3, x = -3 \). Ответ: \( x \in (-3; 3) \) Задание 8. Решите неравенство с модулем: \[ |2x - 3| < 5 \] Это равносильно системе: \[ -5 < 2x - 3 < 5 \] Прибавим 3 ко всем частям: \[ -2 < 2x < 8 \] Разделим на 2: \[ -1 < x < 4 \] Ответ: \( x \in (-1; 4) \) Задание 9. Решите двойное неравенство: \[ -1 < 3x + 2 \le 8 \] Вычтем 2: \[ -3 < 3x \le 6 \] Разделим на 3: \[ -1 < x \le 2 \] Ответ: \( x \in (-1; 2] \) Задание 10. Решите квадратное неравенство, определив знаки на интервалах: \[ x^2 + 2x - 8 \ge 0 \] Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \): \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2; \quad x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \] Метод интервалов: знаки на промежутках \( (-\infty; -4] \), \( [-4; 2] \), \( [2; +\infty) \) будут \( + \), \( - \), \( + \). Нам нужны интервалы со знаком \( + \). Ответ: \( x \in (-\infty; -4] \cup [2; +\infty) \)