Решение задачи №2 о совместной работе двух рабочих

Задача №2 Пусть \(x\) — количество дней, за которое может выполнить всю работу первый рабочий, а \(y\) — количество дней, за которое может выполнить всю работу второй рабочий. Примем всю работу за единицу \(1\). Тогда производительность первого рабочего равна \(\frac{1}{x}\), а второго — \(\frac{1}{y}\). По условию задачи составим систему уравнений: 1) При совместной работе они выполняют её за 12 дней: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \] 2) Если каждый выполнит по половине работы, то общее время составит 25 дней: \[ \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}y = 25 \] Преобразуем второе уравнение: \[ x + y = 50 \implies y = 50 - x \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ \frac{1}{x} + \frac{1}{50 - x} = \frac{1}{12} \] Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{50 - x + x}{x(50 - x)} = \frac{1}{12} \] \[ \frac{50}{50x - x^2} = \frac{1}{12} \] Используя свойство пропорции, получим квадратное уравнение: \[ 50x - x^2 = 600 \] \[ x^2 - 50x + 600 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = (-50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 2500 - 2400 = 100 \] \[ \sqrt{D} = 10 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{50 + 10}{2} = 30 \] \[ x_2 = \frac{50 - 10}{2} = 20 \] Если \(x = 30\), то \(y = 50 - 30 = 20\). Если \(x = 20\), то \(y = 50 - 20 = 30\). Таким образом, одному рабочему потребуется 20 дней, а другому — 30 дней. Ответ: 20 дней и 30 дней.