Решение: Самостоятельная работа 1.1. Степень с действительным показателем

Самостоятельная работа 1.1 Степень с действительным показателем Задание 1. Выберите верное равенство. По определению степени с рациональным показателем: \(\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\). В данном случае: \(\sqrt[11]{b^{-5}} = b^{-\frac{5}{11}}\). Ответ: г) \(b^{-\frac{5}{11}}\). Задание 2. Выберите верное равенство. Используем свойства степеней: \(a^n \cdot a^m = a^{n+m}\) и \(a^n : a^m = a^{n-m}\). Вычислим показатель: \[-\frac{1}{11} + \frac{4}{11} - \left(-\frac{8}{11}\right) = \frac{-1 + 4 + 8}{11} = \frac{11}{11} = 1\] Следовательно: \(b^{-\frac{1}{11}} \cdot b^{\frac{4}{11}} : b^{-\frac{8}{11}} = b^1 = b\). Ответ: в). Задание 3. Найдите значение выражения: \((8^{\frac{1}{3}})^{-\frac{9}{4}} \cdot 8^{0,75}\). 1) \((8^{\frac{1}{3}})^{-\frac{9}{4}} = 8^{\frac{1}{3} \cdot (-\frac{9}{4})} = 8^{-\frac{3}{4}}\). 2) \(8^{-\frac{3}{4}} \cdot 8^{0,75} = 8^{-\frac{3}{4}} \cdot 8^{\frac{3}{4}} = 8^{-\frac{3}{4} + \frac{3}{4}} = 8^0 = 1\). Ответ: 1. Задание 4. Найдите значение выражения: \((64^{-\frac{1}{21}} : 16^{-\frac{4}{7}}) \cdot 0,5^{-2}\). Приведем к основанию 2: 1) \(64^{-\frac{1}{21}} = (2^6)^{-\frac{1}{21}} = 2^{-\frac{6}{21}} = 2^{-\frac{2}{7}}\). 2) \(16^{-\frac{4}{7}} = (2^4)^{-\frac{4}{7}} = 2^{-\frac{16}{7}}\). 3) \(2^{-\frac{2}{7}} : 2^{-\frac{16}{7}} = 2^{-\frac{2}{7} - (-\frac{16}{7})} = 2^{\frac{14}{7}} = 2^2 = 4\). 4) \(0,5^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4\). 5) \(4 \cdot 4 = 16\). Ответ: 16. Задание 5. Найдите значение выражения: \(49^{\sqrt{3}} : 7^{1+2\sqrt{3}} + ((125)^{\frac{\sqrt{3}}{3}})^{\frac{\sqrt{3}}{3}}\). 1) \(49^{\sqrt{3}} = (7^2)^{\sqrt{3}} = 7^{2\sqrt{3}}\). 2) \(7^{2\sqrt{3}} : 7^{1+2\sqrt{3}} = 7^{2\sqrt{3} - (1+2\sqrt{3})} = 7^{-1} = \frac{1}{7}\). 3) \(((125)^{\frac{\sqrt{3}}{3}})^{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 125^{\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = 125^{\frac{3}{9}} = 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5\). 4) \(\frac{1}{7} + 5 = 5\frac{1}{7}\). Ответ: \(5\frac{1}{7}\). Задание 6. Найдите значение выражения: \(125^{\frac{2}{3}} - 0,0016^{-\frac{1}{4}} + 2 \cdot 10000^{\frac{1}{4}} - (\frac{1}{144})^{-0,5} + (0,6)^0\). 1) \(125^{\frac{2}{3}} = (5^3)^{\frac{2}{3}} = 5^2 = 25\). 2) \(0,0016^{-\frac{1}{4}} = (\frac{16}{10000})^{-\frac{1}{4}} = (\frac{10000}{16})^{\frac{1}{4}} = \frac{10}{2} = 5\). 3) \(2 \cdot 10000^{\frac{1}{4}} = 2 \cdot 10 = 20\). 4) \((\frac{1}{144})^{-0,5} = 144^{0,5} = \sqrt{144} = 12\). 5) \((0,6)^0 = 1\). Итого: \(25 - 5 + 20 - 12 + 1 = 29\). Ответ: 29. Задание 7. Сократите дробь: \(\frac{b^{\frac{2}{3}} + 2b^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{4}} + a^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{2}}}\). Заметим формулы квадрата суммы и разности квадратов: Числитель: \((b^{\frac{1}{3}})^2 + 2b^{\frac{1}{3}}a^{\frac{1}{4}} + (a^{\frac{1}{4}})^2 = (b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}})^2\). Знаменатель: \((b^{\frac{1}{3}})^2 - (a^{\frac{1}{4}})^2 = (b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}})\). Сокращаем на \((b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}})\): \[\frac{(b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}})^2}{(b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{4}})(b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}})} = \frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{4}}}\] Ответ: \(\frac{b^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{4}}}{b^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{4}}}\).