Решение задачи №2: Равнобедренный треугольник

Задача №2 Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный (\( AC = BC \)) \( AB = \sqrt{2} \) — основание \( \angle A = \angle B = 30^\circ \) Найти: \( P_{ABC} \) — периметр треугольника Решение: 1. Сумма углов треугольника равна \( 180^\circ \). Найдем угол при вершине \( C \): \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ \] 2. Для нахождения боковых сторон \( AC \) и \( BC \) воспользуемся теоремой синусов: \[ \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{AC}{\sin \angle B} \] 3. Подставим известные значения: \[ \frac{\sqrt{2}}{\sin 120^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ} \] Учитывая, что \( \sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \), а \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \), получаем: \[ AC = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3} \] Так как треугольник равнобедренный, то \( BC = AC = \frac{\sqrt{6}}{3} \). 4. Найдем периметр треугольника как сумму длин всех его сторон: \[ P = AB + AC + BC \] \[ P = \sqrt{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{2} + \frac{2\sqrt{6}}{3} \] Для удобства записи можно привести к общему знаменателю: \[ P = \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{3} \] Ответ: \( \frac{3\sqrt{2} + 2\sqrt{6}}{3} \)