Решение задачи: sin∠FAE в квадрате ABCD

Решение задачи №1 Дано: ABCD — квадрат. F — середина BC. E — середина CD. Найти: \(\sin \angle FAE\). Решение: Введем систему координат. Пусть вершина A совпадает с началом координат \(A(0; 0)\). Пусть сторона квадрата равна 2. Тогда координаты вершин: \(A(0; 0)\), \(B(0; 2)\), \(C(2; 2)\), \(D(2; 0)\). Найдем координаты точек F и E: Точка F — середина BC: \(F(\frac{0+2}{2}; 2) = F(1; 2)\). Точка E — середина CD: \(E(2; \frac{2+0}{2}) = E(2; 1)\). Найдем длины векторов \(\vec{AF}\) и \(\vec{AE}\): \(\vec{AF} = (1; 2)\), \(|\vec{AF}| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}\). \(\vec{AE} = (2; 1)\), \(|\vec{AE}| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}\). Найдем косинус угла \(\alpha\) между векторами через скалярное произведение: \[ \cos \alpha = \frac{\vec{AF} \cdot \vec{AE}}{|\vec{AF}| \cdot |\vec{AE}|} = \frac{1 \cdot 2 + 2 \cdot 1}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4}{5} = 0,8 \] Используя основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\), найдем синус: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - (0,8)^2} = \sqrt{1 - 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6 \] Ответ: 0,6. --- Решение задачи №2 Дано: ABCD — квадрат со стороной \(a = 2\). E — середина CD, K — середина AD. \(BE \cap CK = O\). а) Доказать, что \(\triangle BOC\) прямоугольный. б) Найти AO. Решение: а) Введем систему координат: \(D(0; 0)\), \(C(2; 0)\), \(B(2; 2)\), \(A(0; 2)\). Координаты точек: \(E(1; 0)\), \(K(0; 1)\). Составим уравнения прямых BE и CK: Прямая BE проходит через \(B(2; 2)\) и \(E(1; 0)\): \[ \frac{x - 1}{2 - 1} = \frac{y - 0}{2 - 0} \Rightarrow 2(x - 1) = y \Rightarrow y = 2x - 2 \] Прямая CK проходит через \(C(2; 0)\) и \(K(0; 1)\): \[ \frac{x - 0}{2 - 0} = \frac{y - 1}{0 - 1} \Rightarrow -x = 2(y - 1) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 1 \] Произведение угловых коэффициентов прямых: \(k_1 \cdot k_2 = 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -1\). Следовательно, прямые BE и CK перпендикулярны, то есть \(\angle BOC = 90^\circ\). Треугольник BOC прямоугольный. Что и требовалось доказать. б) Найдем координаты точки O как точку пересечения прямых: \[ 2x - 2 = -\frac{1}{2}x + 1 \] \[ 2,5x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2,5} = 1,2 \] \[ y = 2(1,2) - 2 = 0,4 \] Координаты точки \(O(1,2; 0,4)\). Координаты точки \(A(0; 2)\). Найдем расстояние AO: \[ AO = \sqrt{(1,2 - 0)^2 + (0,4 - 2)^2} = \sqrt{1,2^2 + (-1,6)^2} \] \[ AO = \sqrt{1,44 + 2,56} = \sqrt{4} = 2 \] Ответ: 2.