Решение квадратных уравнений: примеры и объяснения

Ниже представлено решение уравнений из списка. Решения оформлены кратко и понятно для записи в школьную тетрадь. 1) \( 4 - 4x^2 = 0 \) \[ 4x^2 = 4 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x_1 = 1, x_2 = -1 \] 2) \( 16x^2 + 22x - 38 = 0 \) Разделим на 2: \( 8x^2 + 11x - 19 = 0 \) Сумма коэффициентов \( 8 + 11 - 19 = 0 \), значит: \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = \frac{c}{a} = -\frac{19}{8} = -2,375 \] 3) \( x^2 + 36 = 0 \) \[ x^2 = -36 \] Ответ: корней нет (так как квадрат числа не может быть отрицательным). 4) \( x^2 + 5x + 4 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -5 \] \[ x_1 \cdot x_2 = 4 \] \[ x_1 = -1, x_2 = -4 \] 5) \( x^2 - x - 30 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = 1 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -30 \] \[ x_1 = 6, x_2 = -5 \] 6) \( 16 - 8x + x^2 = 0 \) Это квадрат разности: \( (x - 4)^2 = 0 \) \[ x - 4 = 0 \] \[ x = 4 \] 7) \( 5x^2 - 11x + 2 = 0 \) \[ D = (-11)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 2 = 121 - 40 = 81 = 9^2 \] \[ x = \frac{11 \pm 9}{10} \] \[ x_1 = 2, x_2 = 0,2 \] 8) \( 5x^2 - 26x + 5 = 0 \) \[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2 \] \[ x = \frac{26 \pm 24}{10} \] \[ x_1 = 5, x_2 = 0,2 \] 9) \( 10x^2 + 3x + 5 = 0 \) \[ D = 3^2 - 4 \cdot 10 \cdot 5 = 9 - 200 = -191 \] Ответ: корней нет (так как \( D < 0 \)). 10) \( 7x + x^2 = 0 \) \[ x(7 + x) = 0 \] \[ x_1 = 0, x_2 = -7 \] 11) \( 16 - 64t^2 = 0 \) \[ 64t^2 = 16 \] \[ t^2 = \frac{16}{64} = \frac{1}{4} \] \[ t_1 = 0,5, t_2 = -0,5 \] 12) \( 3x^2 - 8x + 5 = 0 \) Сумма коэффициентов \( 3 - 8 + 5 = 0 \): \[ x_1 = 1 \] \[ x_2 = \frac{c}{a} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \] 13) \( -15 - x^2 = 0 \) \[ x^2 = -15 \] Ответ: корней нет. 14) \( 5x^2 + x - 4 = 0 \) Так как \( a - b + c = 5 - 1 - 4 = 0 \): \[ x_1 = -1 \] \[ x_2 = -\frac{c}{a} = \frac{4}{5} = 0,8 \] 15) \( x^2 + x - 30 = 0 \) По теореме Виета: \[ x_1 + x_2 = -1 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -30 \] \[ x_1 = -6, x_2 = 5 \] 16) \( 9x^2 - 12x + 4 = 0 \) Это квадрат разности: \( (3x - 2)^2 = 0 \) \[ 3x = 2 \] \[ x = \frac{2}{3} \] 17) \( 10y^2 - 9y + 2 = 0 \) \[ D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1 \] \[ y = \frac{9 \pm 1}{20} \] \[ y_1 = 0,5, y_2 = 0,4 \] 18) \( 5x^2 - 16x + 12 = 0 \) \[ D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 256 - 240 = 16 = 4^2 \] \[ x = \frac{16 \pm 4}{10} \] \[ x_1 = 2, x_2 = 1,2 \] 19) \( 5x^2 + x + 1 = 0 \) \[ D = 1^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 1 - 20 = -19 \] Ответ: корней нет. 20) \( 2x - 4x^2 = 0 \) \[ 2x(1 - 2x) = 0 \] \[ x_1 = 0 \] \[ 1 - 2x = 0 \Rightarrow x_2 = 0,5 \]