Решение: Ответы на вопросы по гармоническим колебаниям

Ответы на контрольные вопросы по теме «Гармонические колебания» 1. Уравнение гармонического колебания Уравнение зависимости смещения \(x\) от времени \(t\) имеет вид: \[x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi_0)\] или \[x(t) = A \sin(\omega_0 t + \varphi_0)\] 2. Основные определения Период (\(T\)) — минимальный промежуток времени, через который система возвращается в исходное состояние (время одного полного колебания). Частота (\(\nu\)) — число полных колебаний в единицу времени: \(\nu = 1/T\). Циклическая частота (\(\omega_0\)) — число колебаний за \(2\pi\) секунд: \(\omega_0 = 2\pi\nu = 2\pi/T\). Амплитуда (\(A\)) — максимальное смещение тела от положения равновесия. Элонгация (\(x\)) — мгновенное смещение тела от положения равновесия в данный момент времени. Фаза (\(\Phi = \omega_0 t + \varphi_0\)) — величина, определяющая состояние колебательной системы в любой момент времени. 3. Скорость и ускорение точки Скорость \(v\) — это первая производная смещения по времени: \[v = \frac{dx}{dt} = -A \omega_0 \sin(\omega_0 t + \varphi_0)\] Ускорение \(a\) — это вторая производная смещения по времени: \[a = \frac{dv}{dt} = -A \omega_0^2 \cos(\omega_0 t + \varphi_0) = -\omega_0^2 x\] 4. Дифференциальное уравнение колебаний Общий вид дифференциального уравнения: \(\frac{d^2x}{dt^2} + \omega_0^2 x = 0\). Для пружинного маятника: \(\omega_0^2 = \frac{k}{m}\), уравнение: \(\ddot{x} + \frac{k}{m}x = 0\). Для математического маятника: \(\omega_0^2 = \frac{g}{l}\), уравнение: \(\ddot{\alpha} + \frac{g}{l}\alpha = 0\). Для физического маятника: \(\omega_0^2 = \frac{mgl}{I}\), уравнение: \(\ddot{\alpha} + \frac{mgl}{I}\alpha = 0\). 5. Квазиупругая сила Сила должна быть пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия: \(F = -kx\). Квазиупругой называется сила любой физической природы, которая ведет себя так же, как сила упругости (пропорциональна смещению). Период колебаний под действием такой силы: \[T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\] 6. Энергия колебаний Кинетическая энергия: \(E_k = \frac{mv^2}{2} = \frac{mA^2\omega_0^2}{2} \sin^2(\omega_0 t + \varphi_0)\). Потенциальная энергия: \(E_p = \frac{kx^2}{2} = \frac{mA^2\omega_0^2}{2} \cos^2(\omega_0 t + \varphi_0)\). Полная энергия: \(E = E_k + E_p = \frac{mA^2\omega_0^2}{2} = \text{const}\). 7. Математический и физический маятники Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на невесомой нерастяжимой нити. Период: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\). Физический маятник — это твердое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси. Период: \(T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgl}}\). 8. Оборотный маятник Оборотный маятник — это специальный тип физического маятника, имеющий две точки подвеса (две опорные призмы), расположенные так, что периоды колебаний относительно обеих точек равны. Используется для точного определения ускорения свободного падения. 9. Приведенная длина Приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника: \[L_{пр} = \frac{I}{ml}\] 10. Измерение времени десяти колебаний Измерение времени нескольких колебаний (например, десяти) производится для уменьшения относительной погрешности измерения. Ошибка при нажатии на секундомер распределяется на все 10 колебаний, что делает определение периода \(T = t/10\) значительно более точным, чем при замере одного колебания.