Решение задачи №21: Определение оптической силы линзы

Решение задачи №21 Дано: \(L = 2,5 \text{ м} = 250 \text{ см}\) — расстояние от предмета (свечи) до экрана. \(l = 50 \text{ см}\) — расстояние между двумя положениями линзы. Найти: \(D\) — оптическую силу линзы. Решение: Для решения задачи воспользуемся методом Бесселя. Если расстояние между предметом и экраном \(L > 4F\), то существует два положения линзы, при которых на экране получается четкое изображение. Пусть \(d_1\) — расстояние от предмета до линзы в первом положении, а \(f_1\) — расстояние от линзы до экрана. Тогда: \[L = d_1 + f_1\] Во втором положении линзы эти расстояния меняются местами в силу обратимости световых лучей: \[d_2 = f_1, \quad f_2 = d_1\] Расстояние между этими положениями линзы равно: \[l = |d_1 - f_1|\] Выразим \(d_1\) и \(f_1\) через \(L\) и \(l\). Из системы уравнений: \[\begin{cases} d_1 + f_1 = L \\ f_1 - d_1 = l \end{cases}\] (предположим, что во втором случае линза ближе к экрану, тогда \(f_1 > d_1\)). Складывая и вычитая уравнения, получаем: \[f_1 = \frac{L + l}{2}, \quad d_1 = \frac{L - l}{2}\] Запишем формулу тонкой линзы: \[\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}\] Подставим выраженные значения: \[\frac{1}{F} = \frac{2}{L - l} + \frac{2}{L + l} = \frac{2(L + l) + 2(L - l)}{(L - l)(L + l)} = \frac{4L}{L^2 - l^2}\] Следовательно, фокусное расстояние равно: \[F = \frac{L^2 - l^2}{4L}\] Оптическая сила линзы \(D\) по определению равна: \[D = \frac{1}{F} = \frac{4L}{L^2 - l^2}\] Подставим значения в метрах для получения результата в диоптриях: \(L = 2,5 \text{ м}\) \(l = 0,5 \text{ м}\) \[D = \frac{4 \cdot 2,5}{2,5^2 - 0,5^2} = \frac{10}{6,25 - 0,25} = \frac{10}{6} \approx 1,67 \text{ дптр}\] Ответ: \(D \approx 1,67 \text{ дптр}\).