Решение задачи №20: Определение фокусного расстояния линзы

Решение задачи №20 Дано: \(L = 45 \text{ см}\) — расстояние от предмета до экрана. \(k = 4\) — отношение размеров второго изображения к первому (\(\Gamma_2 = 4\Gamma_1\)). Найти: \(F\) — фокусное расстояние линзы. Решение: 1. Пусть в первом случае расстояние от предмета до линзы равно \(d_1\), а от линзы до экрана — \(f_1\). Так как изображение на экране, оно действительное. Сумма этих расстояний равна расстоянию между предметом и экраном: \[d_1 + f_1 = L \quad (1)\] 2. Линейное увеличение в первом случае: \[\Gamma_1 = \frac{f_1}{d_1}\] 3. Во втором случае (после перемещения линзы) расстояния стали \(d_2\) и \(f_2\). Аналогично: \[d_2 + f_2 = L \quad (2)\] Линейное увеличение во втором случае: \[\Gamma_2 = \frac{f_2}{d_2}\] 4. По условию \(\Gamma_2 = 4\Gamma_1\). В задачах, где предмет и экран неподвижны, два положения линзы симметричны относительно середины расстояния \(L\) (согласно свойству обратимости световых лучей). Это значит, что: \[d_2 = f_1 \text{ и } f_2 = d_1\] Тогда: \[\Gamma_2 = \frac{d_1}{f_1}\] 5. Подставим это в условие кратности увеличений: \[\frac{d_1}{f_1} = 4 \cdot \frac{f_1}{d_1} \implies \frac{d_1^2}{f_1^2} = 4 \implies \frac{d_1}{f_1} = 2 \implies d_1 = 2f_1\] 6. Подставим \(d_1 = 2f_1\) в уравнение (1): \[2f_1 + f_1 = 45 \text{ см}\] \[3f_1 = 45 \implies f_1 = 15 \text{ см}\] Тогда \(d_1 = 2 \cdot 15 = 30 \text{ см}\). 7. Используем формулу тонкой линзы для нахождения фокусного расстояния: \[\frac{1}{F} = \frac{1}{d_1} + \frac{1}{f_1}\] \[\frac{1}{F} = \frac{1}{30} + \frac{1}{15} = \frac{1 + 2}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\] \[F = 10 \text{ см}\] Ответ: \(F = 10 \text{ см}\).