Решение задач 33-36: Математическое ожидание и дисперсия

Ответы на вопросы 33–41: 33. Математическое ожидание абсолютно непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: \[ M(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \] где \( f(x) \) — плотность распределения вероятностей. 34. Основные свойства математического ожидания абсолютно непрерывной случайной величины такие же, как и для дискретной: 1) \( M(C) = C \), где \( C \) — константа. 2) \( M(CX) = C \cdot M(X) \). 3) \( M(X + Y) = M(X) + M(Y) \). 4) \( M(XY) = M(X) \cdot M(Y) \) (для независимых величин). 35. Дисперсия абсолютно непрерывной случайной величины вычисляется по формуле: \[ D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - M(X))^2 f(x) dx \] Или через упрощенную формулу: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \). 36. Основные свойства дисперсии абсолютно непрерывной случайной величины: 1) \( D(C) = 0 \). 2) \( D(CX) = C^2 \cdot D(X) \). 3) \( D(X + Y) = D(X) + D(Y) \) (для независимых величин). 4) \( D(X) \ge 0 \). 37. Гауссовская (нормальная) плотность распределения имеет вид: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-a)^2}{2\sigma^2}} \] где \( a \) — математическое ожидание, а \( \sigma \) — среднее квадратическое отклонение. 38. Показательная (экспоненциальная) плотность распределения вероятностей определяется формулой: \[ f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \] где \( \lambda > 0 \) — параметр интенсивности. 39. Равномерное распределение на отрезке \( [a, b] \) — это распределение, плотность которого постоянна внутри этого отрезка и равна нулю вне его: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \le x \le b \\ 0, & x < a \text{ или } x > b \end{cases} \] 40. Математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке \( [a, b] \), равно середине этого отрезка: \[ M(X) = \frac{a + b}{2} \] 41. Дисперсия случайной величины, равномерно распределенной на отрезке \( [a, b] \), вычисляется по формуле: \[ D(X) = \frac{(b - a)^2}{12} \]