Решение задачи №34: Нахождение площади треугольника по трем сторонам

Задача №34. Нахождение площади треугольника по трем сторонам. Для решения данных задач воспользуемся формулой Герона: \[ S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} \] где \( a, b, c \) — стороны треугольника, а \( p \) — полупериметр: \[ p = \frac{a + b + c}{2} \] 1) Стороны: \( a = 13, b = 14, c = 15 \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{21 \cdot (21 - 13) \cdot (21 - 14) \cdot (21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} \] \[ S = \sqrt{(7 \cdot 3) \cdot (4 \cdot 2) \cdot 7 \cdot (3 \cdot 2)} = \sqrt{7^2 \cdot 3^2 \cdot 4 \cdot 2^2} = 7 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 84 \] Ответ: 84. 2) Стороны: \( a = 5, b = 5, c = 6 \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{5 + 5 + 6}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{8 \cdot (8 - 5) \cdot (8 - 5) \cdot (8 - 6)} = \sqrt{8 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{16 \cdot 9} = 4 \cdot 3 = 12 \] Ответ: 12. 3) Стороны: \( a = 17, b = 65, c = 80 \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{17 + 65 + 80}{2} = \frac{162}{2} = 81 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{81 \cdot (81 - 17) \cdot (81 - 65) \cdot (81 - 80)} = \sqrt{81 \cdot 64 \cdot 16 \cdot 1} \] \[ S = 9 \cdot 8 \cdot 4 = 288 \] Ответ: 288. 4) Стороны: \( a = \frac{25}{6}, b = \frac{29}{6}, c = 6 \). Приведем \( c \) к знаменателю 6: \( c = \frac{36}{6} \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{\frac{25}{6} + \frac{29}{6} + \frac{36}{6}}{2} = \frac{\frac{90}{6}}{2} = \frac{15}{2} = 7,5 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot (\frac{45}{6} - \frac{25}{6}) \cdot (\frac{45}{6} - \frac{29}{6}) \cdot (\frac{45}{6} - \frac{36}{6})} \] \[ S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{20}{6} \cdot \frac{16}{6} \cdot \frac{9}{6}} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 10 \cdot 8 \cdot 3}{2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{3600}{36}} = \sqrt{100} = 10 \] Ответ: 10. 5) Стороны: \( a = 13, b = 37\frac{12}{13} = \frac{493}{13}, c = 47\frac{1}{13} = \frac{612}{13} \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{\frac{169}{13} + \frac{493}{13} + \frac{612}{13}}{2} = \frac{\frac{1274}{13}}{2} = \frac{98}{2} = 49 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{49 \cdot (49 - 13) \cdot (49 - \frac{493}{13}) \cdot (49 - \frac{612}{13})} \] \[ S = \sqrt{49 \cdot 36 \cdot \frac{637 - 493}{13} \cdot \frac{637 - 612}{13}} = \sqrt{49 \cdot 36 \cdot \frac{144}{13} \cdot \frac{25}{13}} \] \[ S = \frac{7 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 5}{13} = \frac{2520}{13} = 193\frac{11}{13} \] Ответ: \( 193\frac{11}{13} \). 6) Стороны: \( a = 2\frac{1}{12} = \frac{25}{12}, b = 3\frac{44}{75} = \frac{269}{75}, c = 1,83 = \frac{183}{100} \). Для удобства приведем к общему знаменателю 300: \( a = \frac{625}{300}, b = \frac{1076}{300}, c = \frac{549}{300} \). Находим полупериметр: \[ p = \frac{625 + 1076 + 549}{2 \cdot 300} = \frac{2250}{600} = \frac{15}{4} = 3,75 \] Находим площадь: \[ S = \sqrt{3,75 \cdot (3,75 - \frac{25}{12}) \cdot (3,75 - \frac{269}{75}) \cdot (3,75 - 1,83)} \] Переведем в десятичные дроби: \( a \approx 2,083, b \approx 3,587, c = 1,83 \). \[ p = \frac{2,0833 + 3,5866 + 1,83}{2} = 3,75 \] \[ S = \sqrt{3,75 \cdot (3,75 - 2,0833) \cdot (3,75 - 3,5866) \cdot (3,75 - 1,83)} \] \[ S = \sqrt{3,75 \cdot 1,6667 \cdot 0,1633 \cdot 1,92} \approx \sqrt{1,96} = 1,4 \] Ответ: 1,4.