Решение задачи: расстановка фишек в таблице 4x4

Для решения этой задачи нужно расставить фишки с номиналом \(1\) в клетки таблицы \(4 \times 4\) так, чтобы суммы в строках и столбцах соответствовали числам по краям. Пусть \(x_{i,j}\) — количество фишек в клетке на пересечении строки \(i\) и столбца \(j\). Поскольку все фишки имеют номинал \(1\), сумма в ряду просто равна количеству фишек в нем. Запишем условия для строк: Строка 1: сумма \(2\) Строка 2: сумма \(3\) Строка 3: сумма \(1\) Строка 4: сумма \(9\) Запишем условия для столбцов: Столбец 1: сумма \(2\) Столбец 2: сумма \(8\) Столбец 3: сумма \(1\) Столбец 4: сумма \(4\) Проверим общую сумму: \[2 + 3 + 1 + 9 = 15\] \[2 + 8 + 1 + 4 = 15\] Суммы совпадают, значит решение существует. Заметим, что во второй столбец нужно поставить \(8\) фишек. Так как в столбце всего \(4\) клетки, это означает, что в каждой клетке второго столбца может быть по несколько фишек. Однако, судя по картинке, фишки можно складывать в стопки. Расставим фишки следующим образом (в скобках указано количество фишек в клетке): Первая строка (сумма \(2\)): \(0\) фишек | \(2\) фишки | \(0\) фишек | \(0\) фишек Вторая строка (сумма \(3\)): \(0\) фишек | \(2\) фишки | \(0\) фишек | \(1\) фишка Третья строка (сумма \(1\)): \(0\) фишек | \(0\) фишек | \(1\) фишка | \(0\) фишек Четвертая строка (сумма \(9\)): \(2\) фишки | \(4\) фишки | \(0\) фишек | \(3\) фишки Проверим суммы по столбцам: Столбец 1: \(0 + 0 + 0 + 2 = 2\) (Верно) Столбец 2: \(2 + 2 + 0 + 4 = 8\) (Верно) Столбец 3: \(0 + 0 + 1 + 0 = 1\) (Верно) Столбец 4: \(0 + 1 + 0 + 3 = 4\) (Верно) Итоговая схема расстановки фишек в таблице: \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 0 & 3 \end{pmatrix} \] Ответ для тетради: Нужно положить во вторую клетку первой строки \(2\) фишки. Во вторую клетку второй строки \(2\) фишки, в четвертую клетку — \(1\) фишку. В третью клетку третьей строки \(1\) фишку. В четвертой строке: в первую клетку \(2\) фишки, во вторую — \(4\) фишки, в четвертую — \(3\) фишки.