Решение задачи 4.12: Взаимное расположение точек на окружности

Решение задачи 4.12 В данной задаче требуется описать взаимное расположение точек на числовой окружности, соответствующих заданным парам чисел. а) \( t \) и \( -t \) Точки, соответствующие числам \( t \) и \( -t \), симметричны относительно горизонтального диаметра (оси абсцисс \( Ox \)). Если точка \( t \) находится в верхней полуплоскости, то \( -t \) будет находиться в нижней на том же расстоянии от оси \( Ox \). б) \( t \) и \( t + 2\pi k, k \in Z \) Этим числам соответствует одна и та же точка на числовой окружности. Поскольку полный оборот окружности равен \( 2\pi \), прибавление любого целого количества полных оборотов \( (2\pi k) \) возвращает нас в исходную точку. Такие точки называются совпадающими. в) \( t \) и \( t + \pi \) Точки, соответствующие числам \( t \) и \( t + \pi \), симметричны относительно центра окружности (начала координат). Они являются концами одного и того же диаметра. Расстояние между ними по дуге составляет ровно половину окружности. г) \( t + \pi \) и \( t - \pi \) Этим числам соответствует одна и та же точка на числовой окружности. Разность между ними составляет: \[ (t + \pi) - (t - \pi) = t + \pi - t + \pi = 2\pi \] Так как разность равна \( 2\pi \) (один полный оборот), точки совпадают. Также обе эти точки симметричны точке \( t \) относительно центра окружности.