Решение задачи: Арифметическая прогрессия 24, 18, ...

Вариант 2 Дана арифметическая прогрессия: 24, 18, ... а) Укажите ее разность. Разность арифметической прогрессии \(d\) находится как разность между последующим и предыдущим членами: \[d = a_2 - a_1\] \[d = 18 - 24 = -6\] Ответ: \(d = -6\). б) Запишите формулу n-го члена этой прогрессии. Общая формула n-го члена: \(a_n = a_1 + d(n - 1)\). Подставим известные значения \(a_1 = 24\) и \(d = -6\): \[a_n = 24 - 6(n - 1)\] \[a_n = 24 - 6n + 6\] \[a_n = 30 - 6n\] Ответ: \(a_n = 30 - 6n\). в) Выясните, содержится ли в этой прогрессии число -24 и если да, то под каким номером. Пусть \(a_n = -24\). Используем полученную формулу: \[-24 = 30 - 6n\] Перенесем слагаемые: \[6n = 30 + 24\] \[6n = 54\] \[n = 54 : 6\] \[n = 9\] Так как \(n\) — натуральное число, то число -24 является 9-м членом прогрессии. Ответ: да, под номером 9. г) Укажите, сколько в этой прогрессии положительных членов. Член прогрессии является положительным, если \(a_n > 0\). \[30 - 6n > 0\] \[-6n > -30\] При делении на отрицательное число знак неравенства меняется: \[n < 5\] Следовательно, \(n\) может принимать значения 1, 2, 3, 4. Всего 4 члена. Ответ: 4. д) Рассматривается такая последовательность \((y_n)\), что каждый ее член на 2000 меньше, чем член данной последовательности с тем же номером. Докажите, что последовательность \((y_n)\) является арифметической прогрессией. По условию: \(y_n = a_n - 2000\). Подставим формулу для \(a_n\): \[y_n = (30 - 6n) - 2000\] \[y_n = -1970 - 6n\] Чтобы доказать, что последовательность является арифметической прогрессией, нужно показать, что разность \(y_{n+1} - y_n\) есть число постоянное (не зависит от \(n\)). Найдем \(y_{n+1}\): \[y_{n+1} = -1970 - 6(n + 1) = -1970 - 6n - 6\] Найдем разность: \[y_{n+1} - y_n = (-1970 - 6n - 6) - (-1970 - 6n)\] \[y_{n+1} - y_n = -1970 - 6n - 6 + 1970 + 6n\] \[y_{n+1} - y_n = -6\] Разность постоянна и равна -6, следовательно, \((y_n)\) — арифметическая прогрессия. Что и требовалось доказать.