Решение задачи о треугольнике ABC: углы и стороны

1 вариант. Задача 1. Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle B = 30^\circ \), \( \angle C = 105^\circ \), \( BC = 3\sqrt{2} \) см. Найти: \( \angle A \), \( AB \), \( AC \). Решение: 1) Найдем угол \( A \), используя теорему о сумме углов треугольника: \[ \angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (30^\circ + 105^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] 2) По теореме синусов: \[ \frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} \] Найдем сторону \( AC \): \[ AC = \frac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 3 \text{ см} \] 3) Найдем сторону \( AB \): \[ AB = \frac{BC \cdot \sin C}{\sin A} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sin 105^\circ}{\sin 45^\circ} \] Вычислим \( \sin 105^\circ = \sin(60^\circ + 45^\circ) = \sin 60^\circ \cos 45^\circ + \cos 60^\circ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) \[ AB = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2} = 1,5(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \text{ см} \] Ответ: \( \angle A = 45^\circ \), \( AC = 3 \) см, \( AB = 1,5(\sqrt{6} + \sqrt{2}) \) см. Задача 2. Дано: \( \triangle ABC \), \( AB = BC = 4 \), \( \angle B = 120^\circ \). \( M \) — середина \( AB \), \( N \) — середина \( BC \). Найти скалярное произведение векторов: 1) \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \), 2) \( \vec{BA} \cdot \vec{AC} \), 3) \( \vec{MN} \cdot \vec{AC} \). Решение: 1) Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{BC} \): Угол между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{BC} \) равен \( \angle B = 120^\circ \). \[ \vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos 120^\circ = 4 \cdot 4 \cdot (-0,5) = -8 \] 2) Скалярное произведение \( \vec{BA} \cdot \vec{AC} \): В равнобедренном треугольнике \( \angle A = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ \). Угол между векторами \( \vec{BA} \) и \( \vec{AC} \) равен \( 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \) (так как векторы должны выходить из одной точки). Найдем длину \( AC \) по теореме косинусов: \[ AC^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ = 16 + 16 - 32 \cdot (-0,5) = 32 + 16 = 48 \] \[ AC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \] \[ \vec{BA} \cdot \vec{AC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 150^\circ = 4 \cdot 4\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -8 \cdot 3 = -24 \] 3) Скалярное произведение \( \vec{MN} \cdot \vec{AC} \): \( MN \) — средняя линия треугольника, она параллельна \( AC \) и равна ее половине. \( MN = \frac{1}{2} AC = 2\sqrt{3} \). Векторы \( \vec{MN} \) и \( \vec{AC} \) сонаправлены, угол между ними \( 0^\circ \). \[ \vec{MN} \cdot \vec{AC} = |\vec{MN}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos 0^\circ = 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 1 = 8 \cdot 3 = 24 \] Ответ: 1) -8; 2) -24; 3) 24.