Решение задач из Варианта 4

Ниже представлено решение задач из Варианта 4, оформленное для записи в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения \( (3\frac{2}{3} + 28\frac{1}{3}) \cdot 0,1 \). Решение: 1) Сложим дроби в скобках: \[ 3\frac{2}{3} + 28\frac{1}{3} = (3 + 28) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 31 + \frac{3}{3} = 31 + 1 = 32 \] 2) Выполним умножение: \[ 32 \cdot 0,1 = 3,2 \] Ответ: 3,2. Задание 2. Решите уравнение \( -5x^2 + 11 = 3x + 3 \). Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем к виду \( ax^2 + bx + c = 0 \): \[ -5x^2 - 3x + 11 - 3 = 0 \] \[ -5x^2 - 3x + 8 = 0 \] Умножим на -1 для удобства: \[ 5x^2 + 3x - 8 = 0 \] Найдем дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 = 13^2 \] Находим корни: \[ x_1 = \frac{-3 + 13}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 13}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -1,6 \] Ответ: -1,6; 1. Задание 3. Пусть один катет равен \( x \) см, тогда второй катет равен \( x + 41 \) см. Гипотенуза равна 85 см. По теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 41)^2 = 85^2 \] \[ x^2 + x^2 + 82x + 1681 = 7225 \] \[ 2x^2 + 82x - 5544 = 0 \] Разделим на 2: \[ x^2 + 41x - 2772 = 0 \] \[ D = 41^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2772) = 1681 + 11088 = 12769 = 113^2 \] \[ x = \frac{-41 + 113}{2} = \frac{72}{2} = 36 \] (второй корень отрицательный, не подходит). Первый катет: 36 см. Второй катет: \( 36 + 41 = 77 \) см. Ответ: 36 см, 77 см. Задание 4. Отметьте на прямой число \( 9\sqrt{6} \). Решение: Внесем 9 под корень: \[ 9\sqrt{6} = \sqrt{81 \cdot 6} = \sqrt{486} \] Оценим значение: \[ 22^2 = 484 \] \[ 23^2 = 529 \] Следовательно, \( 22 < \sqrt{486} < 23 \). Число находится чуть правее отметки 22. Ответ: точка чуть правее 22. Задание 5. Упростите выражение \( \frac{81y^2 - 9y}{9y - 4g} - \frac{9y - 36yg}{4g - 9y} \). Решение: Заметим, что знаменатели отличаются знаком. Изменим знак во второй дроби: \[ \frac{81y^2 - 9y}{9y - 4g} + \frac{9y - 36yg}{9y - 4g} = \frac{81y^2 - 9y + 9y - 36yg}{9y - 4g} = \frac{81y^2 - 36yg}{9y - 4g} \] Вынесем \( 9y \) в числителе: \[ \frac{9y(9y - 4g)}{9y - 4g} = 9y \] Подставим \( y = -3,5 \): \[ 9 \cdot (-3,5) = -31,5 \] Ответ: -31,5. Задание 6. Всего билетов \( n = 20 \). Не выучено 3, значит выучено \( 20 - 3 = 17 \). Вероятность \( P = \frac{17}{20} = 0,85 \). Ответ: 0,85. Задание 7. Так как MZPE — ромб, то все его стороны равны: \( MZ = ZP = PE = EM \). Поскольку M — центр окружности, а Z и E лежат на ней, то \( MZ = ME = R \) (радиус). Значит, треугольники MZE и PZE — равносторонние (все стороны равны радиусу). Угол ромба \( \angle ZPE \) в равностороннем треугольнике ZPE равен \( 60^\circ \). Ответ: 60. Задание 8. Пусть стороны прямоугольника \( a = 15 \) и \( b \), диагональ \( d = 17 \). По теореме Пифагора: \[ b^2 = 17^2 - 15^2 = 289 - 225 = 64 \] \[ b = \sqrt{64} = 8 \] Площадь \( S = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120 \). Ответ: 120. Задание 9. а) Второе полугодие: июль – декабрь. Самый низкий столбик в декабре. Ответ: Декабрь. б) Температура в июле \( \approx 18^\circ C \), в июне \( \approx 15^\circ C \). Разница: \( 18 - 15 = 3 \). Ответ: на 3 градуса.