Решение задачи: Прогнозирование продаж сувениров методом наименьших квадратов

Для решения данной задачи нам необходимо найти уравнение линейной зависимости вида \( y = ax + b \), используя метод наименьших квадратов. В нашем случае \( x \) — это номер месяца, а \( y \) — количество проданных сувениров. Дано: \( n = 11 \) (количество месяцев) Значения \( x \): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. Значения \( y \): 15, 22, 26, 33, 40, 45, 52, 58, 63, 69, 78. 1. Вычислим необходимые суммы: Сумма \( x \): \[ \sum x = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 = 66 \] Сумма \( y \): \[ \sum y = 15 + 22 + 26 + 33 + 40 + 45 + 52 + 58 + 63 + 69 + 78 = 501 \] Сумма квадратов \( x \): \[ \sum x^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2 + 11^2 = 506 \] Сумма произведений \( xy \): \[ \sum xy = (1 \cdot 15) + (2 \cdot 22) + (3 \cdot 26) + (4 \cdot 33) + (5 \cdot 40) + (6 \cdot 45) + (7 \cdot 52) + (8 \cdot 58) + (9 \cdot 63) + (10 \cdot 69) + (11 \cdot 78) \] \[ \sum xy = 15 + 44 + 78 + 132 + 200 + 270 + 364 + 464 + 567 + 690 + 858 = 3682 \] 2. Найдем коэффициенты \( a \) и \( b \) по формулам: \[ a = \frac{n \sum xy - \sum x \sum y}{n \sum x^2 - (\sum x)^2} \] \[ b = \frac{\sum y - a \sum x}{n} \] Подставим значения для \( a \): \[ a = \frac{11 \cdot 3682 - 66 \cdot 501}{11 \cdot 506 - 66^2} = \frac{40502 - 33066}{5566 - 4356} = \frac{7436}{1210} \approx 6,145 \] Подставим значения для \( b \): \[ b = \frac{501 - 6,145 \cdot 66}{11} = \frac{501 - 405,57}{11} = \frac{95,43}{11} \approx 8,675 \] 3. Запишем уравнение линейной зависимости: \[ y = 6,15x + 8,68 \] Ответ: Линейная зависимость количества проданных сувениров от месяца описывается уравнением \( y = 6,15x + 8,68 \). Коэффициент \( a \approx 6,15 \) показывает, что в среднем продажи увеличиваются на 6 сувениров каждый месяц.