Решение задачи №7: прямоугольный треугольник с углом 60 градусов

Домашняя работа Задача №7 Дано: Треугольник прямоугольный. Один из острых углов равен \( 60^{\circ} \). Сумма гипотенузы и меньшего катета равна \( 18 \) см. Найти: Гипотенузу и меньший катет. Решение: 1. Пусть в прямоугольном треугольнике углы равны \( 90^{\circ} \), \( 60^{\circ} \) и \( 30^{\circ} \) (так как \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \)). 2. Меньший катет лежит против меньшего угла, то есть против угла в \( 30^{\circ} \). 3. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Пусть \( x \) — меньший катет, тогда \( 2x \) — гипотенуза. 4. По условию их сумма равна \( 18 \) см: \[ x + 2x = 18 \] \[ 3x = 18 \] \[ x = 6 \] (см) — меньший катет. 5. Находим гипотенузу: \[ 2 \cdot 6 = 12 \] (см). Ответ: меньший катет равен \( 6 \) см, гипотенуза равна \( 12 \) см. Задача №8 Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \). \( CM \) — медиана. \( MD \) — биссектриса \( \triangle CMA \). \( BC = 23 \) см. Найти: \( MD \). Решение: 1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине: \[ CM = AM = MB \] Следовательно, \( \triangle CMA \) — равнобедренный (\( CM = AM \)). 2. В \( \triangle ABC \): катет \( BC \) лежит против угла \( 30^{\circ} \), значит гипотенуза \( AB = 2 \cdot BC = 2 \cdot 23 = 46 \) см. 3. Так как \( M \) — середина \( AB \), то \( AM = 46 : 2 = 23 \) см. 4. Тогда \( CM = AM = 23 \) см. 5. В равнобедренном \( \triangle CMA \) углы при основании равны: \( \angle ACM = \angle A = 30^{\circ} \). 6. Находим угол при вершине \( M \): \[ \angle CMA = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ} \] 7. \( MD \) — биссектриса \( \angle CMA \), значит: \[ \angle CMD = \angle AMD = 120^{\circ} : 2 = 60^{\circ} \] 8. Рассмотрим \( \triangle MDC \). В нем \( \angle MCD = 30^{\circ} \), \( \angle CMD = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle MDC = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ} \). 9. В прямоугольном \( \triangle MDC \) катет \( MD \) лежит против угла \( \angle MCD = 30^{\circ} \). Следовательно, \( MD = \frac{1}{2} CM \). \[ MD = 23 : 2 = 11,5 \] (см). Ответ: \( MD = 11,5 \) см.