Решение квадратных уравнений: Вариант 2

Вариант 2. Квадратные уравнения. Задание 1. Решите уравнение: а) \( 6x^2 + 18x = 0 \) Вынесем общий множитель за скобки: \( 6x(x + 3) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( 6x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \) \( x_2 = -3 \) Ответ: \( 0; -3 \). б) \( 4x^2 - 9 = 0 \) Перенесем число в правую часть: \( 4x^2 = 9 \) \( x^2 = \frac{9}{4} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{9}{4}} \) \( x_1 = 1,5 \) \( x_2 = -1,5 \) Ответ: \( 1,5; -1,5 \). в) \( x^2 - 10x + 9 = 0 \) Решим через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 100 - 36 = 64 \) \( \sqrt{D} = \sqrt{64} = 8 \) \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 8}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 8}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Ответ: \( 1; 9 \). г) \( 3x^2 + 6x + 5 = 0 \) Находим дискриминант: \( D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. Задание 3. Пусть \( x \) — первое натуральное число, тогда \( (x + 7) \) — второе число. По условию их произведение равно 144: \( x(x + 7) = 144 \) \( x^2 + 7x - 144 = 0 \) \( D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-144) = 49 + 576 = 625 \) \( \sqrt{D} = 25 \) \( x_1 = \frac{-7 + 25}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) \( x_2 = \frac{-7 - 25}{2} = -16 \) (не подходит, так как число должно быть натуральным) Первое число — 9, тогда второе число: \( 9 + 7 = 16 \). Ответ: 9 и 16. Задание 4. Решите уравнение с помощью т. Виета: а) \( x^2 + 3x - 18 = 0 \) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = -3 \\ x_1 \cdot x_2 = -18 \end{cases} \] Подбором находим корни: \( x_1 = -6 \) \( x_2 = 3 \) Ответ: \( -6; 3 \). б) \( x^2 - x - 12 = 0 \) По теореме Виета: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} \] Подбором находим корни: \( x_1 = 4 \) \( x_2 = -3 \) Ответ: \( 4; -3 \).