Решение квадратных уравнений: примеры и объяснения

Вариант 1. Квадратные уравнения. Задание 1. Решите уравнение: а) \( 4x^2 + 12x = 0 \) Вынесем общий множитель \( 4x \) за скобки: \( 4x(x + 3) = 0 \) Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( 4x = 0 \) или \( x + 3 = 0 \) \( x_1 = 0 \); \( x_2 = -3 \) Ответ: \( -3; 0 \). б) \( 4x^2 - 25 = 0 \) Перенесем число в правую часть: \( 4x^2 = 25 \) \( x^2 = \frac{25}{4} \) \( x = \pm \sqrt{\frac{25}{4}} \) \( x_1 = 2,5 \); \( x_2 = -2,5 \) Ответ: \( \pm 2,5 \). в) \( x^2 - 7x + 6 = 0 \) Решим через дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \) \( \sqrt{D} = 5 \) \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \) \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) Ответ: \( 1; 6 \). г) \( 3x^2 + 2x + 5 = 0 \) Находим дискриминант: \( D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 4 - 60 = -56 \) Так как \( D < 0 \), уравнение не имеет действительных корней. Ответ: корней нет. Задание 3. Пусть \( x \) — первое натуральное число, тогда \( (x + 8) \) — второе число. По условию их произведение равно 153: \( x(x + 8) = 153 \) \( x^2 + 8x - 153 = 0 \) \( D = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-153) = 64 + 612 = 676 \) \( \sqrt{D} = 26 \) \( x_1 = \frac{-8 + 26}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) \( x_2 = \frac{-8 - 26}{2} = -17 \) (не подходит, так как число должно быть натуральным) Первое число: \( 9 \). Второе число: \( 9 + 8 = 17 \). Ответ: \( 9 \) и \( 17 \). Задание 4. Решите уравнение с помощью т. Виета: По теореме Виета для уравнения \( x^2 + px + q = 0 \): \( x_1 + x_2 = -p \) \( x_1 \cdot x_2 = q \) а) \( x^2 + 3x - 18 = 0 \) \( x_1 + x_2 = -3 \) \( x_1 \cdot x_2 = -18 \) Подбором находим корни: \( x_1 = -6 \); \( x_2 = 3 \) Ответ: \( -6; 3 \). б) \( x^2 + x - 20 = 0 \) \( x_1 + x_2 = -1 \) \( x_1 \cdot x_2 = -20 \) Подбором находим корни: \( x_1 = -5 \); \( x_2 = 4 \) Ответ: \( -5; 4 \).