Решение неравенства (2x + 4) / (x - 7) > 0

Решение неравенства: \[ \frac{2x + 4}{x - 7} > 0 \] Для решения данного дробно-рационального неравенства воспользуемся методом интервалов. 1. Найдем нули числителя: \[ 2x + 4 = 0 \] \[ 2x = -4 \] \[ x = -2 \] 2. Найдем нули знаменателя (точки, в которых выражение не определено): \[ x - 7 \neq 0 \] \[ x \neq 7 \] 3. Отметим полученные точки \( x = -2 \) и \( x = 7 \) на числовой прямой. Точки будут выколотыми, так как знак неравенства строгий (\( > \)). 4. Определим знаки выражения на каждом из интервалов: — На интервале \( (-\infty; -2) \): возьмем \( x = -3 \). Числитель \( 2(-3)+4 = -2 \) (отрицательный), знаменатель \( -3-7 = -10 \) (отрицательный). Минус на минус дает плюс. Значит, на этом интервале выражение \( > 0 \). — На интервале \( (-2; 7) \): возьмем \( x = 0 \). Числитель \( 4 \) (положительный), знаменатель \( -7 \) (отрицательный). Плюс на минус дает минус. Значит, на этом интервале выражение \( < 0 \). — На интервале \( (7; +\infty) \): возьмем \( x = 8 \). Числитель \( 2(8)+4 = 20 \) (положительный), знаменатель \( 8-7 = 1 \) (положительный). Плюс на плюс дает плюс. Значит, на этом интервале выражение \( > 0 \). 5. Нам подходят интервалы, где выражение больше нуля (со знаком плюс). Ответ: \[ x \in (-\infty; -2) \cup (7; +\infty) \]