Решение задачи №8: Найти высоту AH в треугольнике ABC

Ниже представлено решение задачи №8 из вашего учебника, оформленное для записи в тетрадь. Задача №8 Дано: \( \triangle ABC \), \( AC = BC = 10\sqrt{19} \) \( \sin \angle BAC = 0,9 \) \( AH \) — высота Найти: \( AH \) Решение: 1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). Так как \( AC = BC \), треугольник является равнобедренным с основанием \( AB \). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: \[ \angle BAC = \angle ABC \] Следовательно, \( \sin \angle ABC = \sin \angle BAC = 0,9 \). 2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \) (так как \( AH \) — высота, \( \angle AHB = 90^\circ \)). В этом треугольнике: \[ \sin \angle ABC = \frac{AH}{AB} \] Отсюда высота \( AH = AB \cdot \sin \angle ABC \). Однако нам не известна сторона \( AB \). 3. Проведем высоту \( CM \) к основанию \( AB \). В равнобедренном треугольнике она также является медианой, то есть \( AM = MB \), а значит \( AB = 2 \cdot AM \). Из прямоугольного \( \triangle ACM \): \[ AM = AC \cdot \cos \angle BAC \] Найдем \( \cos \angle BAC \), используя основное тригонометрическое тождество: \[ \cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - (0,9)^2 = 1 - 0,81 = 0,19 \] Так как угол при основании треугольника острый, то: \[ \cos \angle BAC = \sqrt{0,19} \] 4. Вычислим \( AM \): \[ AM = 10\sqrt{19} \cdot \sqrt{0,19} = 10\sqrt{19 \cdot 0,19} = 10\sqrt{3,61} = 10 \cdot 1,9 = 19 \] Тогда основание \( AB \): \[ AB = 2 \cdot AM = 2 \cdot 19 = 38 \] 5. Теперь найдем высоту \( AH \) из \( \triangle ABH \): \[ AH = AB \cdot \sin \angle ABC = 38 \cdot 0,9 = 34,2 \] Ответ: 34,2