Решение задач №10-14: Аркфункции

Ниже представлены решения заданий №10, №11, №12, №13 и №14, оформленные для записи в тетрадь. Задание №10. Установим соответствие, используя свойства аркфункций от отрицательного аргумента: а) \( \text{tg} x = -a \) Используем \( \text{arctg}(-a) = -\text{arctg } a \). Соответствует формула 3: \( x = -\text{arctg } a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) б) \( \sin x = -a \) Используем \( \arcsin(-a) = -\arcsin a \). Тогда \( (-1)^n \cdot (-1) = (-1)^{n+1} \). Соответствует формула 1: \( x = (-1)^{n+1} \arcsin a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) в) \( \text{ctg} x = -a \) Используем \( \text{arcctg}(-a) = \pi - \text{arcctg } a \). Соответствует формула 4: \( x = \pi - \text{arcctg } a + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) г) \( \cos x = -a \) Используем \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \). Соответствует формула 2: \( x = \pm (\pi - \arccos a) + 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \) Ответ: а-3, б-1, в-4, г-2. Задание №11. Решите уравнение \( \sin x = \frac{1}{2} \). \[ x = (-1)^n \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \arcsin \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{6} \), получаем: Ответ: \( x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Задание №12. Решите уравнение \( \cos 2x = 0 \). Это частный случай вида \( \cos u = 0 \), где \( u = 2x \). \[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Разделим обе части на 2: Ответ: \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z} \) Задание №13. Решите уравнение \( -3 \sin x = 1 \). Разделим обе части на -3: \[ \sin x = -\frac{1}{3} \] Используем общую формулу: \[ x = (-1)^n \arcsin \left( -\frac{1}{3} \right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Вынесем минус из арксинуса: Ответ: \( x = (-1)^{n+1} \arcsin \left( \frac{1}{3} \right) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \) Задание №14. Решите уравнение \( \text{tg} x = \sqrt{3} \). \[ x = \text{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Так как \( \text{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \), получаем: Ответ: \( x = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \)