Решение заданий №15, №16 и №17

Ниже представлены решения заданий №15, №16 и №17, оформленные для записи в тетрадь. Задание №15. Укажите наибольший отрицательный корень уравнения \( 2\sin x + 1 = 0 \). Решение: \[ 2\sin x = -1 \] \[ \sin x = -\frac{1}{2} \] Корни уравнения на единичной окружности: \[ x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n \] Наибольшим отрицательным корнем является \( x = -\frac{\pi}{6} \). Переведем в градусы: \[ -\frac{180^\circ}{6} = -30^\circ \] Ответ: 2) \( -30^\circ \) Задание №16. Найдите корни уравнения \( \cos \left( \frac{\pi}{3} + 2x \right) = 1 \) на интервале \( [0; \pi] \). Решение: Это частный случай \( \cos u = 1 \): \[ \frac{\pi}{3} + 2x = 2\pi n, n \in \mathbb{Z} \] \[ 2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + \pi n \] Найдем корни, принадлежащие интервалу \( [0; \pi] \): При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{6} \) (не входит в интервал). При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{5\pi}{6} \) (входит в интервал). При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} \) (не входит в интервал). Ответ: \( \frac{5\pi}{6} \) Задание №17. Укажите количество корней уравнения \( \text{tg } x = -\sqrt{3} \) на промежутке \( [-\pi; \pi] \). Решение: Находим общее решение: \[ x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n \] \[ x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z} \] Проверим корни на промежутке \( [-\pi; \pi] \): 1) При \( n = -1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{4\pi}{3} \) (не входит, так как \( -\frac{4\pi}{3} < -\pi \)). 2) При \( n = 0 \): \( x = -\frac{\pi}{3} \) (входит). 3) При \( n = 1 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3} \) (входит). 4) При \( n = 2 \): \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3} \) (не входит, так как \( \frac{5\pi}{3} > \pi \)). Итого на данном промежутке 2 корня. Ответ: 2