Решение задачи с корнями: Вариант 2

Вариант 2 №1. Найдите значение выражения: \[ 3\sqrt[3]{8} + 4\sqrt[5]{-32} + \sqrt[4]{(-5)^4} + \sqrt[3]{\sqrt{37} + 8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{37} - 8} \] Решение: 1) \( 3\sqrt[3]{8} = 3 \cdot 2 = 6 \) 2) \( 4\sqrt[5]{-32} = 4 \cdot (-2) = -8 \) 3) \( \sqrt[4]{(-5)^4} = |-5| = 5 \) 4) \( \sqrt[3]{\sqrt{37} + 8} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{37} - 8} = \sqrt[3]{(\sqrt{37} + 8)(\sqrt{37} - 8)} = \sqrt[3]{(\sqrt{37})^2 - 8^2} = \sqrt[3]{37 - 64} = \sqrt[3]{-27} = -3 \) Итоговое значение: \[ 6 - 8 + 5 - 3 = 0 \] Ответ: 0. №2. Найдите значение выражения \( \sqrt[4]{x\sqrt{\sqrt[3]{x}}} \) при \( x = \sqrt[5]{27^4} \). Решение: Упростим выражение: \[ \sqrt[4]{x \cdot (x^{1/3})^{1/2}} = \sqrt[4]{x \cdot x^{1/6}} = \sqrt[4]{x^{7/6}} = (x^{7/6})^{1/4} = x^{7/24} \] Подставим \( x = 27^{4/5} = (3^3)^{4/5} = 3^{12/5} \): \[ (3^{12/5})^{7/24} = 3^{\frac{12 \cdot 7}{5 \cdot 24}} = 3^{\frac{7}{5 \cdot 2}} = 3^{7/10} = \sqrt[10]{3^7} = \sqrt[10]{2187} \] Ответ: \( \sqrt[10]{2187} \). №3. Упростите выражение: \( (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) \). Решение: Применим формулу разности квадратов для второй и третьей скобок: \[ (\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}) = (\sqrt[4]{a})^2 - (\sqrt[4]{b})^2 = \sqrt{a} - \sqrt{b} \] Теперь перемножим с первой скобкой: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = (\sqrt{a})^2 - (\sqrt{b})^2 = a - b \] Ответ: \( a - b \). №4. Решите уравнение: а) \( \sqrt{2x + 8} = x \) Возведем в квадрат при условии \( x \ge 0 \): \[ 2x + 8 = x^2 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 4, x_2 = -2 \). Условию \( x \ge 0 \) удовлетворяет только \( x = 4 \). Ответ: 4. б) \( \sqrt{3 - x} = x - 1 \) Возведем в квадрат при условии \( x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1 \): \[ 3 - x = (x - 1)^2 \] \[ 3 - x = x^2 - 2x + 1 \] \[ x^2 - x - 2 = 0 \] По теореме Виета: \( x_1 = 2, x_2 = -1 \). Условию \( x \ge 1 \) удовлетворяет только \( x = 2 \). Ответ: 2. №5. Решите неравенство: \( \sqrt{x - 3} < 5 \). Решение: Неравенство равносильно системе: \[ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x - 3 < 5^2 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 25 + 3 \end{cases} \] \[ \begin{cases} x \ge 3 \\ x < 28 \end{cases} \] Ответ: \( [3; 28) \).