Решение задач №7 и №8: Тригонометрические функции

Ниже представлены ответы на задания №7 и №8, оформленные для записи в тетрадь. Задание №7. Что называется периодом тригонометрической функции. Периодом тригонометрической функции \( f(x) \) называется такое число \( T \neq 0 \), при добавлении которого к аргументу значение функции не изменяется. То есть для любого \( x \) из области определения функции выполняется равенство: \[ f(x + T) = f(x) = f(x - T) \] Наименьшее положительное число \( T \), обладающее этим свойством, называется основным периодом. Задание №8. Вычислить. I. \( \arcsin \frac{1}{2} \) Так как \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \) и \( \frac{\pi}{6} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] \), то: Ответ: \( \frac{\pi}{6} \) II. \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) \) Используем формулу \( \arccos(-a) = \pi - \arccos a \): \( \arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \pi - \arccos \frac{1}{2} = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \) Ответ: \( \frac{2\pi}{3} \) III. \( \sin \frac{\pi}{4} \) Это табличное значение синуса для угла \( 45^\circ \). Ответ: \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) IV. \( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) \) Так как косинус — четная функция, \( \cos(-\alpha) = \cos \alpha \): \( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) = \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \) Ответ: \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) V. \( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) \) Так как тангенс — нечетная функция, \( \text{tg}(-\alpha) = -\text{tg } \alpha \): \( \text{tg } \left( -\frac{\pi}{3} \right) = -\text{tg } \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3} \) Ответ: \( -\sqrt{3} \) VI. \( \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) \) Используем формулу \( \text{arctg}(-a) = -\text{arctg } a \): \( \text{arctg } \left( -\frac{\sqrt{3}}{3} \right) = -\text{arctg } \frac{\sqrt{3}}{3} = -\frac{\pi}{6} \) Ответ: \( -\frac{\pi}{6} \)